Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101291 / 97682
↖ ↑ ↗
← S 65.823032°
E 98.204041°		 ← 125.06 m → S 65.823032°
E 98.206787°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
S 65.824157°
E 98.204041°		 ← 125.06 m →
15 640 m²		 S 65.824157°
E 98.206787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772792816162109 y=0.745258331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772792816162109 × 217)
    floor (0.772792816162109 × 131072)
    floor (101291.5)     		tx = 101291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745258331298828 × 217)
    floor (0.745258331298828 × 131072)
    floor (97682.5)     		ty = 97682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101291 / 97682 ti = "17/101291/97682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101291/97682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101291 ÷ 217
    101291 ÷ 131072     		x = 0.772789001464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97682 ÷ 217
    97682 ÷ 131072     		y = 0.745254516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772789001464844 × 2 - 1) × π
    0.545578002929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.71398385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745254516601562 × 2 - 1) × π
    -0.490509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54097957518633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71398385} λ = 1.71398385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54097957518633))-π/2
    2×atan(0.2141712018426)-π/2
    2×0.210983845586922-π/2
    0.421967691173844-1.57079632675     		φ = -1.14882864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71398385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.204041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14882864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.823032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101291 KachelY 97682 1.71398385 -1.14882864 98.204041 -65.823032
    Oben rechts KachelX + 1 101292 KachelY 97682 1.71403178 -1.14882864 98.206787 -65.823032
    Unten links KachelX 101291 KachelY + 1 97683 1.71398385 -1.14884827 98.204041 -65.824157
    Unten rechts KachelX + 1 101292 KachelY + 1 97683 1.71403178 -1.14884827 98.206787 -65.824157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14882864--1.14884827) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dl = 125.0627299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14882864--1.14884827) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dr = 125.0627299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71398385-1.71403178) × cos(-1.14882864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409556335569161 × 6371000     		do = 125.062954028837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71398385-1.71403178) × cos(-1.14884827) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409538427339074 × 6371000     		du = 125.057485535344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14882864)-sin(-1.14884827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409556335569161-0.409538427339074)×R²
    abs(1.71403178-1.71398385)×1.79082300874045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79082300874045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79082300874045e-05×40589641000000     		ar = 15640.3725008325m²