Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101289 / 97959
↖ ↑ ↗
← S 66.132743°
E 98.198547°		 ← 123.58 m → S 66.132743°
E 98.201294°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
S 66.133854°
E 98.198547°		 ← 123.58 m →
15 266 m²		 S 66.133854°
E 98.201294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772777557373047 y=0.747371673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772777557373047 × 217)
    floor (0.772777557373047 × 131072)
    floor (101289.5)     		tx = 101289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747371673583984 × 217)
    floor (0.747371673583984 × 131072)
    floor (97959.5)     		ty = 97959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101289 / 97959 ti = "17/101289/97959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101289/97959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101289 ÷ 217
    101289 ÷ 131072     		x = 0.772773742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97959 ÷ 217
    97959 ÷ 131072     		y = 0.747367858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772773742675781 × 2 - 1) × π
    0.545547485351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.71388797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747367858886719 × 2 - 1) × π
    -0.494735717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.55425809638108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71388797} λ = 1.71388797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55425809638108))-π/2
    2×atan(0.211346122944139)-π/2
    2×0.208281110837243-π/2
    0.416562221674485-1.57079632675     		φ = -1.15423411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71388797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.198547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15423411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.132743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101289 KachelY 97959 1.71388797 -1.15423411 98.198547 -66.132743
    Oben rechts KachelX + 1 101290 KachelY 97959 1.71393591 -1.15423411 98.201294 -66.132743
    Unten links KachelX 101289 KachelY + 1 97960 1.71388797 -1.15425350 98.198547 -66.133854
    Unten rechts KachelX + 1 101290 KachelY + 1 97960 1.71393591 -1.15425350 98.201294 -66.133854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15423411--1.15425350) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dl = 123.533690000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15423411--1.15425350) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dr = 123.533690000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71388797-1.71393591) × cos(-1.15423411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404619047892579 × 6371000     		do = 123.581072120605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71388797-1.71393591) × cos(-1.15425350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404601315945891 × 6371000     		du = 123.575656327667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15423411)-sin(-1.15425350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404619047892579-0.404601315945891)×R²
    abs(1.71393591-1.71388797)×1.7731946687749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7731946687749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7731946687749e-05×40589641000000     		ar = 15266.0913373862m²