Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101288 / 97690
↖ ↑ ↗
← S 65.832030°
E 98.195801°		 ← 125.02 m → S 65.832030°
E 98.198547°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
S 65.833154°
E 98.195801°		 ← 125.01 m →
15 635 m²		 S 65.833154°
E 98.198547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772769927978516 y=0.745319366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772769927978516 × 217)
    floor (0.772769927978516 × 131072)
    floor (101288.5)     		tx = 101288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745319366455078 × 217)
    floor (0.745319366455078 × 131072)
    floor (97690.5)     		ty = 97690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101288 / 97690 ti = "17/101288/97690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101288/97690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101288 ÷ 217
    101288 ÷ 131072     		x = 0.77276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97690 ÷ 217
    97690 ÷ 131072     		y = 0.745315551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77276611328125 × 2 - 1) × π
    0.5455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71384004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745315551757812 × 2 - 1) × π
    -0.490631103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54136307038329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71384004} λ = 1.71384004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54136307038329))-π/2
    2×atan(0.214089083962279)-π/2
    2×0.210905327878471-π/2
    0.421810655756942-1.57079632675     		φ = -1.14898567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71384004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14898567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.832030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101288 KachelY 97690 1.71384004 -1.14898567 98.195801 -65.832030
    Oben rechts KachelX + 1 101289 KachelY 97690 1.71388797 -1.14898567 98.198547 -65.832030
    Unten links KachelX 101288 KachelY + 1 97691 1.71384004 -1.14900530 98.195801 -65.833154
    Unten rechts KachelX + 1 101289 KachelY + 1 97691 1.71388797 -1.14900530 98.198547 -65.833154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14898567--1.14900530) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dl = 125.0627299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14898567--1.14900530) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dr = 125.0627299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71384004-1.71388797) × cos(-1.14898567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409413074433652 × 6371000     		do = 125.019207517677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71384004-1.71388797) × cos(-1.14900530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409395164941356 × 6371000     		du = 125.013738638754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14898567)-sin(-1.14900530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409413074433652-0.409395164941356)×R²
    abs(1.71388797-1.71384004)×1.79094922960199e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79094922960199e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79094922960199e-05×40589641000000     		ar = 15634.901418457m²