Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101288 / 97668
↖ ↑ ↗
← S 65.807279°
E 98.195801°		 ← 125.14 m → S 65.807279°
E 98.198547°		 →
↑
125.19 m
↓
↑
125.19 m
↓
S 65.808405°
E 98.195801°		 ← 125.13 m →
15 666 m²		 S 65.808405°
E 98.198547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772769927978516 y=0.745151519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772769927978516 × 217)
    floor (0.772769927978516 × 131072)
    floor (101288.5)     		tx = 101288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745151519775391 × 217)
    floor (0.745151519775391 × 131072)
    floor (97668.5)     		ty = 97668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101288 / 97668 ti = "17/101288/97668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101288/97668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101288 ÷ 217
    101288 ÷ 131072     		x = 0.77276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97668 ÷ 217
    97668 ÷ 131072     		y = 0.745147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77276611328125 × 2 - 1) × π
    0.5455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71384004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.49029541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54030845859164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71384004} λ = 1.71384004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54030845859164))-π/2
    2×atan(0.214314983932136)-π/2
    2×0.211121317692479-π/2
    0.422242635384957-1.57079632675     		φ = -1.14855369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71384004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14855369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.807279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101288 KachelY 97668 1.71384004 -1.14855369 98.195801 -65.807279
    Oben rechts KachelX + 1 101289 KachelY 97668 1.71388797 -1.14855369 98.198547 -65.807279
    Unten links KachelX 101288 KachelY + 1 97669 1.71384004 -1.14857334 98.195801 -65.808405
    Unten rechts KachelX + 1 101289 KachelY + 1 97669 1.71388797 -1.14857334 98.198547 -65.808405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14855369--1.14857334) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dl = 125.19015000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14855369--1.14857334) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dr = 125.19015000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71384004-1.71388797) × cos(-1.14855369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409807152798831 × 6371000     		do = 125.139544087248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71384004-1.71388797) × cos(-1.14857334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409789228536253 × 6371000     		du = 125.134070698041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14855369)-sin(-1.14857334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409807152798831-0.409789228536253)×R²
    abs(1.71388797-1.71384004)×1.79242625781284e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79242625781284e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79242625781284e-05×40589641000000     		ar = 15665.8956885794m²