Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101286 / 97711
↖ ↑ ↗
← S 65.855633°
E 98.190308°		 ← 124.93 m → S 65.855633°
E 98.193054°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
S 65.856757°
E 98.190308°		 ← 124.93 m →
15 608 m²		 S 65.856757°
E 98.193054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772754669189453 y=0.745479583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772754669189453 × 217)
    floor (0.772754669189453 × 131072)
    floor (101286.5)     		tx = 101286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745479583740234 × 217)
    floor (0.745479583740234 × 131072)
    floor (97711.5)     		ty = 97711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101286 / 97711 ti = "17/101286/97711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101286/97711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101286 ÷ 217
    101286 ÷ 131072     		x = 0.772750854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97711 ÷ 217
    97711 ÷ 131072     		y = 0.745475769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772750854492188 × 2 - 1) × π
    0.545501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71374416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745475769042969 × 2 - 1) × π
    -0.490951538085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.54236974527531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71374416} λ = 1.71374416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54236974527531))-π/2
    2×atan(0.213873674298739)-π/2
    2×0.210699349557266-π/2
    0.421398699114531-1.57079632675     		φ = -1.14939763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71374416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.190308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14939763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.855633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101286 KachelY 97711 1.71374416 -1.14939763 98.190308 -65.855633
    Oben rechts KachelX + 1 101287 KachelY 97711 1.71379210 -1.14939763 98.193054 -65.855633
    Unten links KachelX 101286 KachelY + 1 97712 1.71374416 -1.14941724 98.190308 -65.856757
    Unten rechts KachelX + 1 101287 KachelY + 1 97712 1.71379210 -1.14941724 98.193054 -65.856757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14939763--1.14941724) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dl = 124.935310000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14939763--1.14941724) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dr = 124.935310000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71374416-1.71379210) × cos(-1.14939763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409037188355848 × 6371000     		do = 124.930485941022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71374416-1.71379210) × cos(-1.14941724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409019293804828 × 6371000     		du = 124.925020484535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14939763)-sin(-1.14941724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409037188355848-0.409019293804828)×R²
    abs(1.71379210-1.71374416)×1.78945510204143e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78945510204143e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78945510204143e-05×40589641000000     		ar = 15607.8875756896m²