Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101285 / 97709
↖ ↑ ↗
← S 65.853386°
E 98.187561°		 ← 124.94 m → S 65.853386°
E 98.190308°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
S 65.854510°
E 98.187561°		 ← 124.94 m →
15 609 m²		 S 65.854510°
E 98.190308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772747039794922 y=0.745464324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772747039794922 × 217)
    floor (0.772747039794922 × 131072)
    floor (101285.5)     		tx = 101285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745464324951172 × 217)
    floor (0.745464324951172 × 131072)
    floor (97709.5)     		ty = 97709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101285 / 97709 ti = "17/101285/97709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101285/97709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101285 ÷ 217
    101285 ÷ 131072     		x = 0.772743225097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97709 ÷ 217
    97709 ÷ 131072     		y = 0.745460510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772743225097656 × 2 - 1) × π
    0.545486450195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71369622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745460510253906 × 2 - 1) × π
    -0.490921020507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54227387147607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71369622} λ = 1.71369622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54227387147607))-π/2
    2×atan(0.213894180163423)-π/2
    2×0.210718958389743-π/2
    0.421437916779486-1.57079632675     		φ = -1.14935841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71369622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.187561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14935841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.853386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101285 KachelY 97709 1.71369622 -1.14935841 98.187561 -65.853386
    Oben rechts KachelX + 1 101286 KachelY 97709 1.71374416 -1.14935841 98.190308 -65.853386
    Unten links KachelX 101285 KachelY + 1 97710 1.71369622 -1.14937802 98.187561 -65.854510
    Unten rechts KachelX + 1 101286 KachelY + 1 97710 1.71374416 -1.14937802 98.190308 -65.854510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14935841--1.14937802) × R
    1.96099999998367e-05 × 6371000     		dl = 124.93530999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14935841--1.14937802) × R
    1.96099999998367e-05 × 6371000     		dr = 124.93530999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71369622-1.71374416) × cos(-1.14935841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409072976985994 × 6371000     		do = 124.941416709868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71369622-1.71374416) × cos(-1.14937802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409055082749572 × 6371000     		du = 124.935951349467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14935841)-sin(-1.14937802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409072976985994-0.409055082749572)×R²
    abs(1.71374416-1.71369622)×1.78942364211232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78942364211232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78942364211232e-05×40589641000000     		ar = 15609.2532207588m²