Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101284 / 97684
↖ ↑ ↗
← S 65.825282°
E 98.184815°		 ← 125.05 m → S 65.825282°
E 98.187561°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
S 65.826407°
E 98.184815°		 ← 125.05 m →
15 639 m²		 S 65.826407°
E 98.187561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772739410400391 y=0.745273590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772739410400391 × 217)
    floor (0.772739410400391 × 131072)
    floor (101284.5)     		tx = 101284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745273590087891 × 217)
    floor (0.745273590087891 × 131072)
    floor (97684.5)     		ty = 97684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101284 / 97684 ti = "17/101284/97684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101284/97684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101284 ÷ 217
    101284 ÷ 131072     		x = 0.772735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97684 ÷ 217
    97684 ÷ 131072     		y = 0.745269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772735595703125 × 2 - 1) × π
    0.54547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71364829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.49053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54107544898557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71364829} λ = 1.71364829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54107544898557))-π/2
    2×atan(0.214150669420068)-π/2
    2×0.21096421358435-π/2
    0.4219284271687-1.57079632675     		φ = -1.14886790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71364829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.184815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14886790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.825282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101284 KachelY 97684 1.71364829 -1.14886790 98.184815 -65.825282
    Oben rechts KachelX + 1 101285 KachelY 97684 1.71369622 -1.14886790 98.187561 -65.825282
    Unten links KachelX 101284 KachelY + 1 97685 1.71364829 -1.14888753 98.184815 -65.826407
    Unten rechts KachelX + 1 101285 KachelY + 1 97685 1.71369622 -1.14888753 98.187561 -65.826407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14886790--1.14888753) × R
    1.96300000001592e-05 × 6371000     		dl = 125.062730001015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14886790--1.14888753) × R
    1.96300000001592e-05 × 6371000     		dr = 125.062730001015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71364829-1.71369622) × cos(-1.14886790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409520518951176 × 6371000     		do = 125.052016993661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71364829-1.71369622) × cos(-1.14888753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409502610405475 × 6371000     		du = 125.046548403791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14886790)-sin(-1.14888753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409520518951176-0.409502610405475)×R²
    abs(1.71369622-1.71364829)×1.79085457012729e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79085457012729e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79085457012729e-05×40589641000000     		ar = 15639.0046794271m²