Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101282 / 98210
↖ ↑ ↗
← S 66.410154°
E 98.179321°		 ← 122.23 m → S 66.410154°
E 98.182068°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
S 66.411253°
E 98.179321°		 ← 122.22 m →
14 935 m²		 S 66.411253°
E 98.182068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772724151611328 y=0.749286651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772724151611328 × 217)
    floor (0.772724151611328 × 131072)
    floor (101282.5)     		tx = 101282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749286651611328 × 217)
    floor (0.749286651611328 × 131072)
    floor (98210.5)     		ty = 98210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101282 / 98210 ti = "17/101282/98210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101282/98210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101282 ÷ 217
    101282 ÷ 131072     		x = 0.772720336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98210 ÷ 217
    98210 ÷ 131072     		y = 0.749282836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772720336914062 × 2 - 1) × π
    0.545440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71355241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749282836914062 × 2 - 1) × π
    -0.498565673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56629025818571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71355241} λ = 1.71355241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56629025818571))-π/2
    2×atan(0.20881840961925)-π/2
    2×0.205860242537259-π/2
    0.411720485074517-1.57079632675     		φ = -1.15907584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71355241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.179321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15907584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.410154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101282 KachelY 98210 1.71355241 -1.15907584 98.179321 -66.410154
    Oben rechts KachelX + 1 101283 KachelY 98210 1.71360035 -1.15907584 98.182068 -66.410154
    Unten links KachelX 101282 KachelY + 1 98211 1.71355241 -1.15909502 98.179321 -66.411253
    Unten rechts KachelX + 1 101283 KachelY + 1 98211 1.71360035 -1.15909502 98.182068 -66.411253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15907584--1.15909502) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15907584--1.15909502) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71355241-1.71360035) × cos(-1.15907584) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.400186631514386 × 6371000     		do = 122.227298068875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71355241-1.71360035) × cos(-1.15909502) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.400169054243109 × 6371000     		du = 122.221929517788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15907584)-sin(-1.15909502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400186631514386-0.400169054243109)×R²
    abs(1.71360035-1.71355241)×1.75772712774358e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.75772712774358e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.75772712774358e-05×40589641000000     		ar = 14935.3320181176m²