Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101281 / 98465
↖ ↑ ↗
← S 66.688871°
E 98.176575°		 ← 120.84 m → S 66.688871°
E 98.179321°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.689958°
E 98.176575°		 ← 120.83 m →
14 604 m²		 S 66.689958°
E 98.179321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772716522216797 y=0.751232147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772716522216797 × 217)
    floor (0.772716522216797 × 131072)
    floor (101281.5)     		tx = 101281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751232147216797 × 217)
    floor (0.751232147216797 × 131072)
    floor (98465.5)     		ty = 98465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101281 / 98465 ti = "17/101281/98465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101281/98465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101281 ÷ 217
    101281 ÷ 131072     		x = 0.772712707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98465 ÷ 217
    98465 ÷ 131072     		y = 0.751228332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772712707519531 × 2 - 1) × π
    0.545425415039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71350448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751228332519531 × 2 - 1) × π
    -0.502456665039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.57851416758883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71350448} λ = 1.71350448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57851416758883))-π/2
    2×atan(0.206281370159743)-π/2
    2×0.203427978691454-π/2
    0.406855957382907-1.57079632675     		φ = -1.16394037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71350448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.176575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16394037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.688871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101281 KachelY 98465 1.71350448 -1.16394037 98.176575 -66.688871
    Oben rechts KachelX + 1 101282 KachelY 98465 1.71355241 -1.16394037 98.179321 -66.688871
    Unten links KachelX 101281 KachelY + 1 98466 1.71350448 -1.16395934 98.176575 -66.689958
    Unten rechts KachelX + 1 101282 KachelY + 1 98466 1.71355241 -1.16395934 98.179321 -66.689958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16394037--1.16395934) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16394037--1.16395934) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71350448-1.71355241) × cos(-1.16394037) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.395723895117191 × 6371000     		do = 120.839051932007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71350448-1.71355241) × cos(-1.16395934) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.395706473575952 × 6371000     		du = 120.833732054808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16394037)-sin(-1.16395934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395723895117191-0.395706473575952)×R²
    abs(1.71355241-1.71350448)×1.74215412394596e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.74215412394596e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.74215412394596e-05×40589641000000     		ar = 14604.0289552877m²