Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101280 / 98720
↖ ↑ ↗
← S 66.964476°
E 98.173828°		 ← 119.51 m → S 66.964476°
E 98.176575°		 →
↑
119.52 m
↓
↑
119.52 m
↓
S 66.965551°
E 98.173828°		 ← 119.51 m →
14 284 m²		 S 66.965551°
E 98.176575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772708892822266 y=0.753177642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772708892822266 × 217)
    floor (0.772708892822266 × 131072)
    floor (101280.5)     		tx = 101280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753177642822266 × 217)
    floor (0.753177642822266 × 131072)
    floor (98720.5)     		ty = 98720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101280 / 98720 ti = "17/101280/98720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101280/98720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101280 ÷ 217
    101280 ÷ 131072     		x = 0.772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98720 ÷ 217
    98720 ÷ 131072     		y = 0.753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71345654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.50634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59073807699194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71345654} λ = 1.71345654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59073807699194))-π/2
    2×atan(0.20377515446348)-π/2
    2×0.201022866751497-π/2
    0.402045733502994-1.57079632675     		φ = -1.16875059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71345654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16875059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.964476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101280 KachelY 98720 1.71345654 -1.16875059 98.173828 -66.964476
    Oben rechts KachelX + 1 101281 KachelY 98720 1.71350448 -1.16875059 98.176575 -66.964476
    Unten links KachelX 101280 KachelY + 1 98721 1.71345654 -1.16876935 98.173828 -66.965551
    Unten rechts KachelX + 1 101281 KachelY + 1 98721 1.71350448 -1.16876935 98.176575 -66.965551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16875059--1.16876935) × R
    1.87600000001176e-05 × 6371000     		dl = 119.519960000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16875059--1.16876935) × R
    1.87600000001176e-05 × 6371000     		dr = 119.519960000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71345654-1.71350448) × cos(-1.16875059) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.391301774494954 × 6371000     		do = 119.51363403891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71345654-1.71350448) × cos(-1.16876935) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.391284510303102 × 6371000     		du = 119.508361110338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16875059)-sin(-1.16876935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391301774494954-0.391284510303102)×R²
    abs(1.71350448-1.71345654)×1.72641918512739e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72641918512739e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72641918512739e-05×40589641000000     		ar = 14283.9496502647m²