Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101279 / 98207
↖ ↑ ↗
← S 66.406856°
E 98.171081°		 ← 122.24 m → S 66.406856°
E 98.173828°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
S 66.407955°
E 98.171081°		 ← 122.24 m →
14 937 m²		 S 66.407955°
E 98.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772701263427734 y=0.749263763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772701263427734 × 217)
    floor (0.772701263427734 × 131072)
    floor (101279.5)     		tx = 101279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749263763427734 × 217)
    floor (0.749263763427734 × 131072)
    floor (98207.5)     		ty = 98207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101279 / 98207 ti = "17/101279/98207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101279/98207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101279 ÷ 217
    101279 ÷ 131072     		x = 0.772697448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98207 ÷ 217
    98207 ÷ 131072     		y = 0.749259948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772697448730469 × 2 - 1) × π
    0.545394897460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71340860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749259948730469 × 2 - 1) × π
    -0.498519897460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.56614644748685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71340860} λ = 1.71340860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56614644748685))-π/2
    2×atan(0.208848442100116)-π/2
    2×0.205889019992997-π/2
    0.411778039985994-1.57079632675     		φ = -1.15901829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71340860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.171081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15901829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.406856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101279 KachelY 98207 1.71340860 -1.15901829 98.171081 -66.406856
    Oben rechts KachelX + 1 101280 KachelY 98207 1.71345654 -1.15901829 98.173828 -66.406856
    Unten links KachelX 101279 KachelY + 1 98208 1.71340860 -1.15903747 98.171081 -66.407955
    Unten rechts KachelX + 1 101280 KachelY + 1 98208 1.71345654 -1.15903747 98.173828 -66.407955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15901829--1.15903747) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15901829--1.15903747) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71340860-1.71345654) × cos(-1.15901829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400239371608993 × 6371000     		do = 122.243406250732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71340860-1.71345654) × cos(-1.15903747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400221794779465 × 6371000     		du = 122.238037834566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15901829)-sin(-1.15903747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400239371608993-0.400221794779465)×R²
    abs(1.71345654-1.71340860)×1.75768295284096e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75768295284096e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75768295284096e-05×40589641000000     		ar = 14937.3003780495m²