Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101276 / 97100
↖ ↑ ↗
← S 65.159964°
E 98.162842°		 ← 128.31 m → S 65.159964°
E 98.165588°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
S 65.161118°
E 98.162842°		 ← 128.30 m →
16 463 m²		 S 65.161118°
E 98.165588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772678375244141 y=0.740818023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772678375244141 × 217)
    floor (0.772678375244141 × 131072)
    floor (101276.5)     		tx = 101276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740818023681641 × 217)
    floor (0.740818023681641 × 131072)
    floor (97100.5)     		ty = 97100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101276 / 97100 ti = "17/101276/97100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101276/97100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101276 ÷ 217
    101276 ÷ 131072     		x = 0.772674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97100 ÷ 217
    97100 ÷ 131072     		y = 0.740814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772674560546875 × 2 - 1) × π
    0.54534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71326479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.48162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51308029960745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71326479} λ = 1.71326479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51308029960745))-π/2
    2×atan(0.220230555989811)-π/2
    2×0.216770206571068-π/2
    0.433540413142136-1.57079632675     		φ = -1.13725591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71326479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13725591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.159964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101276 KachelY 97100 1.71326479 -1.13725591 98.162842 -65.159964
    Oben rechts KachelX + 1 101277 KachelY 97100 1.71331273 -1.13725591 98.165588 -65.159964
    Unten links KachelX 101276 KachelY + 1 97101 1.71326479 -1.13727605 98.162842 -65.161118
    Unten rechts KachelX + 1 101277 KachelY + 1 97101 1.71331273 -1.13727605 98.165588 -65.161118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13725591--1.13727605) × R
    2.01400000001684e-05 × 6371000     		dl = 128.311940001073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13725591--1.13727605) × R
    2.01400000001684e-05 × 6371000     		dr = 128.311940001073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71326479-1.71331273) × cos(-1.13725591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420086300670952 × 6371000     		do = 128.305169246204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71326479-1.71331273) × cos(-1.13727605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42006802385478 × 6371000     		du = 128.2995870361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13725591)-sin(-1.13727605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420086300670952-0.42006802385478)×R²
    abs(1.71331273-1.71326479)×1.82768161715585e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82768161715585e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82768161715585e-05×40589641000000     		ar = 16462.7270466053m²