Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101272 / 98034
↖ ↑ ↗
← S 66.215955°
E 98.151855°		 ← 123.18 m → S 66.215955°
E 98.154602°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
S 66.217062°
E 98.151855°		 ← 123.17 m →
15 169 m²		 S 66.217062°
E 98.154602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772647857666016 y=0.747943878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772647857666016 × 217)
    floor (0.772647857666016 × 131072)
    floor (101272.5)     		tx = 101272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747943878173828 × 217)
    floor (0.747943878173828 × 131072)
    floor (98034.5)     		ty = 98034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101272 / 98034 ti = "17/101272/98034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101272/98034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101272 ÷ 217
    101272 ÷ 131072     		x = 0.77264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98034 ÷ 217
    98034 ÷ 131072     		y = 0.747940063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77264404296875 × 2 - 1) × π
    0.5452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71307304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747940063476562 × 2 - 1) × π
    -0.495880126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55785336385258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71307304} λ = 1.71307304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55785336385258))-π/2
    2×atan(0.210587641392123)-π/2
    2×0.207554948633722-π/2
    0.415109897267444-1.57079632675     		φ = -1.15568643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71307304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.151855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15568643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.215955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101272 KachelY 98034 1.71307304 -1.15568643 98.151855 -66.215955
    Oben rechts KachelX + 1 101273 KachelY 98034 1.71312098 -1.15568643 98.154602 -66.215955
    Unten links KachelX 101272 KachelY + 1 98035 1.71307304 -1.15570576 98.151855 -66.217062
    Unten rechts KachelX + 1 101273 KachelY + 1 98035 1.71312098 -1.15570576 98.154602 -66.217062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15568643--1.15570576) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15568643--1.15570576) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71307304-1.71312098) × cos(-1.15568643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40329049630128 × 6371000     		do = 123.175298267705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71307304-1.71312098) × cos(-1.15570576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403272807884067 × 6371000     		du = 123.169895769788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15568643)-sin(-1.15570576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40329049630128-0.403272807884067)×R²
    abs(1.71312098-1.71307304)×1.76884172133351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76884172133351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76884172133351e-05×40589641000000     		ar = 15168.8814600707m²