Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101272 / 97096
↖ ↑ ↗
← S 65.155349°
E 98.151855°		 ← 128.33 m → S 65.155349°
E 98.154602°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
S 65.156503°
E 98.151855°		 ← 128.32 m →
16 466 m²		 S 65.156503°
E 98.154602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772647857666016 y=0.740787506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772647857666016 × 217)
    floor (0.772647857666016 × 131072)
    floor (101272.5)     		tx = 101272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740787506103516 × 217)
    floor (0.740787506103516 × 131072)
    floor (97096.5)     		ty = 97096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101272 / 97096 ti = "17/101272/97096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101272/97096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101272 ÷ 217
    101272 ÷ 131072     		x = 0.77264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97096 ÷ 217
    97096 ÷ 131072     		y = 0.74078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77264404296875 × 2 - 1) × π
    0.5452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71307304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.4815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51288855200897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71307304} λ = 1.71307304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51288855200897))-π/2
    2×atan(0.220272788718917)-π/2
    2×0.216810485344672-π/2
    0.433620970689344-1.57079632675     		φ = -1.13717536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71307304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.151855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13717536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.155349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101272 KachelY 97096 1.71307304 -1.13717536 98.151855 -65.155349
    Oben rechts KachelX + 1 101273 KachelY 97096 1.71312098 -1.13717536 98.154602 -65.155349
    Unten links KachelX 101272 KachelY + 1 97097 1.71307304 -1.13719550 98.151855 -65.156503
    Unten rechts KachelX + 1 101273 KachelY + 1 97097 1.71312098 -1.13719550 98.154602 -65.156503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13717536--1.13719550) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13717536--1.13719550) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71307304-1.71312098) × cos(-1.13717536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420159397157108 × 6371000     		do = 128.327494794579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71307304-1.71312098) × cos(-1.13719550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420141121022477 × 6371000     		du = 128.321912792636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13717536)-sin(-1.13719550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420159397157108-0.420141121022477)×R²
    abs(1.71312098-1.71307304)×1.82761346305682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82761346305682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82761346305682e-05×40589641000000     		ar = 16465.5916943024m²