Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101271 / 98196
↖ ↑ ↗
← S 66.394761°
E 98.149109°		 ← 122.28 m → S 66.394761°
E 98.151855°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
S 66.395861°
E 98.149109°		 ← 122.27 m →
14 949 m²		 S 66.395861°
E 98.151855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772640228271484 y=0.749179840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772640228271484 × 217)
    floor (0.772640228271484 × 131072)
    floor (101271.5)     		tx = 101271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749179840087891 × 217)
    floor (0.749179840087891 × 131072)
    floor (98196.5)     		ty = 98196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101271 / 98196 ti = "17/101271/98196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101271/98196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101271 ÷ 217
    101271 ÷ 131072     		x = 0.772636413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98196 ÷ 217
    98196 ÷ 131072     		y = 0.749176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772636413574219 × 2 - 1) × π
    0.545272827148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.71302511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.49835205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56561914159103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71302511} λ = 1.71302511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56561914159103))-π/2
    2×atan(0.208958598155385)-π/2
    2×0.205994569783471-π/2
    0.411989139566941-1.57079632675     		φ = -1.15880719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71302511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.149109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15880719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.394761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101271 KachelY 98196 1.71302511 -1.15880719 98.149109 -66.394761
    Oben rechts KachelX + 1 101272 KachelY 98196 1.71307304 -1.15880719 98.151855 -66.394761
    Unten links KachelX 101271 KachelY + 1 98197 1.71302511 -1.15882638 98.149109 -66.395861
    Unten rechts KachelX + 1 101272 KachelY + 1 98197 1.71307304 -1.15882638 98.151855 -66.395861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15880719--1.15882638) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dl = 122.259489999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15880719--1.15882638) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dr = 122.259489999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71302511-1.71307304) × cos(-1.15880719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400432816973877 × 6371000     		do = 122.276977869837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71302511-1.71307304) × cos(-1.15882638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400415232601895 × 6371000     		du = 122.271608270312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15880719)-sin(-1.15882638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400432816973877-0.400415232601895)×R²
    abs(1.71307304-1.71302511)×1.75843719819602e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75843719819602e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75843719819602e-05×40589641000000     		ar = 14949.1927112681m²