Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101270 / 98198
↖ ↑ ↗
← S 66.396961°
E 98.146362°		 ← 122.29 m → S 66.396961°
E 98.149109°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
S 66.398060°
E 98.146362°		 ← 122.29 m →
14 951 m²		 S 66.398060°
E 98.149109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772632598876953 y=0.749195098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772632598876953 × 217)
    floor (0.772632598876953 × 131072)
    floor (101270.5)     		tx = 101270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749195098876953 × 217)
    floor (0.749195098876953 × 131072)
    floor (98198.5)     		ty = 98198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101270 / 98198 ti = "17/101270/98198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101270/98198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101270 ÷ 217
    101270 ÷ 131072     		x = 0.772628784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98198 ÷ 217
    98198 ÷ 131072     		y = 0.749191284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772628784179688 × 2 - 1) × π
    0.545257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71297717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749191284179688 × 2 - 1) × π
    -0.498382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56571501539027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71297717} λ = 1.71297717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56571501539027))-π/2
    2×atan(0.208938565461016)-π/2
    2×0.205975375118756-π/2
    0.411950750237511-1.57079632675     		φ = -1.15884558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71297717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.146362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15884558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.396961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101270 KachelY 98198 1.71297717 -1.15884558 98.146362 -66.396961
    Oben rechts KachelX + 1 101271 KachelY 98198 1.71302511 -1.15884558 98.149109 -66.396961
    Unten links KachelX 101270 KachelY + 1 98199 1.71297717 -1.15886477 98.146362 -66.398060
    Unten rechts KachelX + 1 101271 KachelY + 1 98199 1.71302511 -1.15886477 98.149109 -66.398060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15884558--1.15886477) × R
    1.91900000001688e-05 × 6371000     		dl = 122.259490001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15884558--1.15886477) × R
    1.91900000001688e-05 × 6371000     		dr = 122.259490001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71297717-1.71302511) × cos(-1.15884558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400397638919043 × 6371000     		do = 122.291745161021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71297717-1.71302511) × cos(-1.15886477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40038005425208 × 6371000     		du = 122.286374351102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15884558)-sin(-1.15886477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400397638919043-0.40038005425208)×R²
    abs(1.71302511-1.71297717)×1.75846669632218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75846669632218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75846669632218e-05×40589641000000     		ar = 14950.9980788356m²