Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101269 / 98213
↖ ↑ ↗
← S 66.413451°
E 98.143615°		 ← 122.21 m → S 66.413451°
E 98.146362°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
S 66.414550°
E 98.143615°		 ← 122.21 m →
14 933 m²		 S 66.414550°
E 98.146362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772624969482422 y=0.749309539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772624969482422 × 217)
    floor (0.772624969482422 × 131072)
    floor (101269.5)     		tx = 101269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749309539794922 × 217)
    floor (0.749309539794922 × 131072)
    floor (98213.5)     		ty = 98213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101269 / 98213 ti = "17/101269/98213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101269/98213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101269 ÷ 217
    101269 ÷ 131072     		x = 0.772621154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98213 ÷ 217
    98213 ÷ 131072     		y = 0.749305725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772621154785156 × 2 - 1) × π
    0.545242309570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71292923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749305725097656 × 2 - 1) × π
    -0.498611450195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.56643406888457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71292923} λ = 1.71292923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56643406888457))-π/2
    2×atan(0.208788381457065)-π/2
    2×0.205831468873937-π/2
    0.411662937747873-1.57079632675     		φ = -1.15913339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71292923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.143615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15913339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.413451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101269 KachelY 98213 1.71292923 -1.15913339 98.143615 -66.413451
    Oben rechts KachelX + 1 101270 KachelY 98213 1.71297717 -1.15913339 98.146362 -66.413451
    Unten links KachelX 101269 KachelY + 1 98214 1.71292923 -1.15915257 98.143615 -66.414550
    Unten rechts KachelX + 1 101270 KachelY + 1 98214 1.71297717 -1.15915257 98.146362 -66.414550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15913339--1.15915257) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15913339--1.15915257) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71292923-1.71297717) × cos(-1.15913339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40013389009436 × 6371000     		do = 122.211189481068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71292923-1.71297717) × cos(-1.15915257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400116312381392 × 6371000     		du = 122.205820795078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15913339)-sin(-1.15915257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40013389009436-0.400116312381392)×R²
    abs(1.71297717-1.71292923)×1.75777129682309e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75777129682309e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75777129682309e-05×40589641000000     		ar = 14933.3636085755m²