Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101263 / 98192
↖ ↑ ↗
← S 66.390362°
E 98.127136°		 ← 122.32 m → S 66.390362°
E 98.129883°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
S 66.391462°
E 98.127136°		 ← 122.32 m →
14 963 m²		 S 66.391462°
E 98.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772579193115234 y=0.749149322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772579193115234 × 217)
    floor (0.772579193115234 × 131072)
    floor (101263.5)     		tx = 101263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749149322509766 × 217)
    floor (0.749149322509766 × 131072)
    floor (98192.5)     		ty = 98192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101263 / 98192 ti = "17/101263/98192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101263/98192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101263 ÷ 217
    101263 ÷ 131072     		x = 0.772575378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98192 ÷ 217
    98192 ÷ 131072     		y = 0.7491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772575378417969 × 2 - 1) × π
    0.545150756835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71264161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56542739399255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71264161} λ = 1.71264161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56542739399255))-π/2
    2×atan(0.208998669306414)-π/2
    2×0.206032964172092-π/2
    0.412065928344185-1.57079632675     		φ = -1.15873040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71264161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.127136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15873040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.390362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101263 KachelY 98192 1.71264161 -1.15873040 98.127136 -66.390362
    Oben rechts KachelX + 1 101264 KachelY 98192 1.71268955 -1.15873040 98.129883 -66.390362
    Unten links KachelX 101263 KachelY + 1 98193 1.71264161 -1.15874960 98.127136 -66.391462
    Unten rechts KachelX + 1 101264 KachelY + 1 98193 1.71268955 -1.15874960 98.129883 -66.391462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15873040--1.15874960) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dl = 122.323199999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15873040--1.15874960) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dr = 122.323199999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71264161-1.71268955) × cos(-1.15873040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400503180475984 × 6371000     		do = 122.323980269151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71264161-1.71268955) × cos(-1.15874960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400485587531088 × 6371000     		du = 122.318606930937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15873040)-sin(-1.15874960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400503180475984-0.400485587531088)×R²
    abs(1.71268955-1.71264161)×1.75929448957279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75929448957279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75929448957279e-05×40589641000000     		ar = 14962.7320615578m²