Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101261 / 98477
↖ ↑ ↗
← S 66.701910°
E 98.121643°		 ← 120.80 m → S 66.701910°
E 98.124390°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
S 66.702997°
E 98.121643°		 ← 120.80 m →
14 592 m²		 S 66.702997°
E 98.124390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772563934326172 y=0.751323699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772563934326172 × 217)
    floor (0.772563934326172 × 131072)
    floor (101261.5)     		tx = 101261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751323699951172 × 217)
    floor (0.751323699951172 × 131072)
    floor (98477.5)     		ty = 98477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101261 / 98477 ti = "17/101261/98477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101261/98477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101261 ÷ 217
    101261 ÷ 131072     		x = 0.772560119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98477 ÷ 217
    98477 ÷ 131072     		y = 0.751319885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772560119628906 × 2 - 1) × π
    0.545120239257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71254574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751319885253906 × 2 - 1) × π
    -0.502639770507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57908941038427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71254574} λ = 1.71254574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57908941038427))-π/2
    2×atan(0.206162742410875)-π/2
    2×0.203314190091534-π/2
    0.406628380183067-1.57079632675     		φ = -1.16416795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71254574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.121643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16416795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.701910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101261 KachelY 98477 1.71254574 -1.16416795 98.121643 -66.701910
    Oben rechts KachelX + 1 101262 KachelY 98477 1.71259368 -1.16416795 98.124390 -66.701910
    Unten links KachelX 101261 KachelY + 1 98478 1.71254574 -1.16418691 98.121643 -66.702997
    Unten rechts KachelX + 1 101262 KachelY + 1 98478 1.71259368 -1.16418691 98.124390 -66.702997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16416795--1.16418691) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16416795--1.16418691) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71254574-1.71259368) × cos(-1.16416795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395514882332918 × 6371000     		do = 120.800425617465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71254574-1.71259368) × cos(-1.16418691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395497468268421 × 6371000     		du = 120.79510691393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16416795)-sin(-1.16418691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395514882332918-0.395497468268421)×R²
    abs(1.71259368-1.71254574)×1.74140644963461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74140644963461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74140644963461e-05×40589641000000     		ar = 14591.6647062085m²