Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101261 / 98450
↖ ↑ ↗
← S 66.672562°
E 98.121643°		 ← 120.94 m → S 66.672562°
E 98.124390°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.673650°
E 98.121643°		 ← 120.94 m →
14 624 m²		 S 66.673650°
E 98.124390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772563934326172 y=0.751117706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772563934326172 × 217)
    floor (0.772563934326172 × 131072)
    floor (101261.5)     		tx = 101261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751117706298828 × 217)
    floor (0.751117706298828 × 131072)
    floor (98450.5)     		ty = 98450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101261 / 98450 ti = "17/101261/98450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101261/98450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101261 ÷ 217
    101261 ÷ 131072     		x = 0.772560119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98450 ÷ 217
    98450 ÷ 131072     		y = 0.751113891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772560119628906 × 2 - 1) × π
    0.545120239257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71254574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751113891601562 × 2 - 1) × π
    -0.502227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57779511409453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71254574} λ = 1.71254574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57779511409453))-π/2
    2×atan(0.206429750840195)-π/2
    2×0.20357029900043-π/2
    0.40714059800086-1.57079632675     		φ = -1.16365573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71254574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.121643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16365573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.672562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101261 KachelY 98450 1.71254574 -1.16365573 98.121643 -66.672562
    Oben rechts KachelX + 1 101262 KachelY 98450 1.71259368 -1.16365573 98.124390 -66.672562
    Unten links KachelX 101261 KachelY + 1 98451 1.71254574 -1.16367471 98.121643 -66.673650
    Unten rechts KachelX + 1 101262 KachelY + 1 98451 1.71259368 -1.16367471 98.124390 -66.673650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16365573--1.16367471) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16365573--1.16367471) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71254574-1.71259368) × cos(-1.16365573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395985283786725 × 6371000     		do = 120.944098329591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71254574-1.71259368) × cos(-1.16367471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39596785520026 × 6371000     		du = 120.938775190673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16365573)-sin(-1.16367471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395985283786725-0.39596785520026)×R²
    abs(1.71259368-1.71254574)×1.74285864655288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74285864655288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74285864655288e-05×40589641000000     		ar = 14624.4296209667m²