Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101261 / 97055
↖ ↑ ↗
← S 65.107992°
E 98.121643°		 ← 128.56 m → S 65.107992°
E 98.124390°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
S 65.109148°
E 98.121643°		 ← 128.55 m →
16 528 m²		 S 65.109148°
E 98.124390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772563934326172 y=0.740474700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772563934326172 × 217)
    floor (0.772563934326172 × 131072)
    floor (101261.5)     		tx = 101261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740474700927734 × 217)
    floor (0.740474700927734 × 131072)
    floor (97055.5)     		ty = 97055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101261 / 97055 ti = "17/101261/97055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101261/97055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101261 ÷ 217
    101261 ÷ 131072     		x = 0.772560119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97055 ÷ 217
    97055 ÷ 131072     		y = 0.740470886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772560119628906 × 2 - 1) × π
    0.545120239257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71254574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740470886230469 × 2 - 1) × π
    -0.480941772460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51092313912455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71254574} λ = 1.71254574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51092313912455))-π/2
    2×atan(0.220706141414941)-π/2
    2×0.217223747067097-π/2
    0.434447494134194-1.57079632675     		φ = -1.13634883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71254574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.121643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13634883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.107992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101261 KachelY 97055 1.71254574 -1.13634883 98.121643 -65.107992
    Oben rechts KachelX + 1 101262 KachelY 97055 1.71259368 -1.13634883 98.124390 -65.107992
    Unten links KachelX 101261 KachelY + 1 97056 1.71254574 -1.13636901 98.121643 -65.109148
    Unten rechts KachelX + 1 101262 KachelY + 1 97056 1.71259368 -1.13636901 98.124390 -65.109148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13634883--1.13636901) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13634883--1.13636901) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71254574-1.71259368) × cos(-1.13634883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420909288467333 × 6371000     		do = 128.556530902924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71254574-1.71259368) × cos(-1.13636901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420890983048449 × 6371000     		du = 128.550939956816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13634883)-sin(-1.13636901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420909288467333-0.420890983048449)×R²
    abs(1.71259368-1.71254574)×1.83054188842569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83054188842569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83054188842569e-05×40589641000000     		ar = 16527.739821748m²