Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101260 / 99180
↖ ↑ ↗
← S 67.453869°
E 98.118896°		 ← 117.11 m → S 67.453869°
E 98.121643°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.454922°
E 98.118896°		 ← 117.10 m →
13 713 m²		 S 67.454922°
E 98.121643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772556304931641 y=0.756687164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772556304931641 × 217)
    floor (0.772556304931641 × 131072)
    floor (101260.5)     		tx = 101260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756687164306641 × 217)
    floor (0.756687164306641 × 131072)
    floor (99180.5)     		ty = 99180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101260 / 99180 ti = "17/101260/99180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101260/99180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101260 ÷ 217
    101260 ÷ 131072     		x = 0.772552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99180 ÷ 217
    99180 ÷ 131072     		y = 0.756683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772552490234375 × 2 - 1) × π
    0.54510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71249780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.51336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61278905081717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71249780} λ = 1.71249780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61278905081717))-π/2
    2×atan(0.199330894082826)-π/2
    2×0.196752106068557-π/2
    0.393504212137113-1.57079632675     		φ = -1.17729211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71249780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.118896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17729211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.453869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101260 KachelY 99180 1.71249780 -1.17729211 98.118896 -67.453869
    Oben rechts KachelX + 1 101261 KachelY 99180 1.71254574 -1.17729211 98.121643 -67.453869
    Unten links KachelX 101260 KachelY + 1 99181 1.71249780 -1.17731049 98.118896 -67.454922
    Unten rechts KachelX + 1 101261 KachelY + 1 99181 1.71254574 -1.17731049 98.121643 -67.454922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17729211--1.17731049) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17729211--1.17731049) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71249780-1.71254574) × cos(-1.17729211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383427156085154 × 6371000     		do = 117.108522883327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71249780-1.71254574) × cos(-1.17731049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383410180783181 × 6371000     		du = 117.10333818916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17729211)-sin(-1.17731049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383427156085154-0.383410180783181)×R²
    abs(1.71254574-1.71249780)×1.69753019728103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69753019728103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69753019728103e-05×40589641000000     		ar = 13712.9850181186m²