Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101260 / 98171
↖ ↑ ↗
← S 66.367251°
E 98.118896°		 ← 122.44 m → S 66.367251°
E 98.121643°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
S 66.368351°
E 98.118896°		 ← 122.43 m →
14 984 m²		 S 66.368351°
E 98.121643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772556304931641 y=0.748989105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772556304931641 × 217)
    floor (0.772556304931641 × 131072)
    floor (101260.5)     		tx = 101260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748989105224609 × 217)
    floor (0.748989105224609 × 131072)
    floor (98171.5)     		ty = 98171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101260 / 98171 ti = "17/101260/98171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101260/98171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101260 ÷ 217
    101260 ÷ 131072     		x = 0.772552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98171 ÷ 217
    98171 ÷ 131072     		y = 0.748985290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772552490234375 × 2 - 1) × π
    0.54510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71249780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748985290527344 × 2 - 1) × π
    -0.497970581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.56442071910053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71249780} λ = 1.71249780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56442071910053))-π/2
    2×atan(0.209209168953849)-π/2
    2×0.206234645417576-π/2
    0.412469290835152-1.57079632675     		φ = -1.15832704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71249780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.118896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15832704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.367251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101260 KachelY 98171 1.71249780 -1.15832704 98.118896 -66.367251
    Oben rechts KachelX + 1 101261 KachelY 98171 1.71254574 -1.15832704 98.121643 -66.367251
    Unten links KachelX 101260 KachelY + 1 98172 1.71249780 -1.15834625 98.118896 -66.368351
    Unten rechts KachelX + 1 101261 KachelY + 1 98172 1.71254574 -1.15834625 98.121643 -66.368351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15832704--1.15834625) × R
    1.92099999998252e-05 × 6371000     		dl = 122.386909998886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15832704--1.15834625) × R
    1.92099999998252e-05 × 6371000     		dr = 122.386909998886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71249780-1.71254574) × cos(-1.15832704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400872744785029 × 6371000     		do = 122.436854721718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71249780-1.71254574) × cos(-1.15834625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400855145781784 × 6371000     		du = 122.431479533129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15832704)-sin(-1.15834625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400872744785029-0.400855145781784)×R²
    abs(1.71254574-1.71249780)×1.75990032454942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75990032454942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75990032454942e-05×40589641000000     		ar = 14984.3393933414m²