Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101259 / 98188
↖ ↑ ↗
← S 66.385961°
E 98.116150°		 ← 122.32 m → S 66.385961°
E 98.118896°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
S 66.387061°
E 98.116150°		 ← 122.31 m →
14 962 m²		 S 66.387061°
E 98.118896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772548675537109 y=0.749118804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772548675537109 × 217)
    floor (0.772548675537109 × 131072)
    floor (101259.5)     		tx = 101259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749118804931641 × 217)
    floor (0.749118804931641 × 131072)
    floor (98188.5)     		ty = 98188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101259 / 98188 ti = "17/101259/98188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101259/98188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101259 ÷ 217
    101259 ÷ 131072     		x = 0.772544860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98188 ÷ 217
    98188 ÷ 131072     		y = 0.749114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772544860839844 × 2 - 1) × π
    0.545089721679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.71244987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.49822998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56523564639407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71244987} λ = 1.71244987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56523564639407))-π/2
    2×atan(0.209038748141726)-π/2
    2×0.206071365307102-π/2
    0.412142730614205-1.57079632675     		φ = -1.15865360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71244987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.116150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15865360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.385961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101259 KachelY 98188 1.71244987 -1.15865360 98.116150 -66.385961
    Oben rechts KachelX + 1 101260 KachelY 98188 1.71249780 -1.15865360 98.118896 -66.385961
    Unten links KachelX 101259 KachelY + 1 98189 1.71244987 -1.15867280 98.116150 -66.387061
    Unten rechts KachelX + 1 101260 KachelY + 1 98189 1.71249780 -1.15867280 98.118896 -66.387061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15865360--1.15867280) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dl = 122.323199999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15865360--1.15867280) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dr = 122.323199999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71244987-1.71249780) × cos(-1.15865360) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400573550779087 × 6371000     		do = 122.319952630285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71244987-1.71249780) × cos(-1.15867280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400555958424796 × 6371000     		du = 122.314580593266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15865360)-sin(-1.15867280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400573550779087-0.400555958424796)×R²
    abs(1.71249780-1.71244987)×1.75923542908851e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75923542908851e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75923542908851e-05×40589641000000     		ar = 14962.2394675897m²