Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101258 / 98186
↖ ↑ ↗
← S 66.383760°
E 98.113403°		 ← 122.36 m → S 66.383760°
E 98.116150°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
S 66.384861°
E 98.113403°		 ← 122.35 m →
14 967 m²		 S 66.384861°
E 98.116150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772541046142578 y=0.749103546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772541046142578 × 217)
    floor (0.772541046142578 × 131072)
    floor (101258.5)     		tx = 101258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749103546142578 × 217)
    floor (0.749103546142578 × 131072)
    floor (98186.5)     		ty = 98186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101258 / 98186 ti = "17/101258/98186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101258/98186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101258 ÷ 217
    101258 ÷ 131072     		x = 0.772537231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98186 ÷ 217
    98186 ÷ 131072     		y = 0.749099731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772537231445312 × 2 - 1) × π
    0.545074462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71240193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749099731445312 × 2 - 1) × π
    -0.498199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56513977259483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71240193} λ = 1.71240193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56513977259483))-π/2
    2×atan(0.209058790441449)-π/2
    2×0.206090568404803-π/2
    0.412181136809605-1.57079632675     		φ = -1.15861519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71240193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.113403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15861519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.383760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101258 KachelY 98186 1.71240193 -1.15861519 98.113403 -66.383760
    Oben rechts KachelX + 1 101259 KachelY 98186 1.71244987 -1.15861519 98.116150 -66.383760
    Unten links KachelX 101258 KachelY + 1 98187 1.71240193 -1.15863439 98.113403 -66.384861
    Unten rechts KachelX + 1 101259 KachelY + 1 98187 1.71244987 -1.15863439 98.116150 -66.384861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15861519--1.15863439) × R
    1.9200000000108e-05 × 6371000     		dl = 122.323200000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15861519--1.15863439) × R
    1.9200000000108e-05 × 6371000     		dr = 122.323200000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71240193-1.71244987) × cos(-1.15861519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400608744207153 × 6371000     		do = 122.35622214986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71240193-1.71244987) × cos(-1.15863439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40059115214828 × 6371000     		du = 122.350849082261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15861519)-sin(-1.15863439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400608744207153-0.40059115214828)×R²
    abs(1.71244987-1.71240193)×1.75920588728062e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75920588728062e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75920588728062e-05×40589641000000     		ar = 14966.6760083519m²