Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101256 / 97049
↖ ↑ ↗
← S 65.101055°
E 98.107910°		 ← 128.59 m → S 65.101055°
E 98.110657°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
S 65.102211°
E 98.107910°		 ← 128.58 m →
16 540 m²		 S 65.102211°
E 98.110657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772525787353516 y=0.740428924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772525787353516 × 217)
    floor (0.772525787353516 × 131072)
    floor (101256.5)     		tx = 101256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740428924560547 × 217)
    floor (0.740428924560547 × 131072)
    floor (97049.5)     		ty = 97049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101256 / 97049 ti = "17/101256/97049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101256/97049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101256 ÷ 217
    101256 ÷ 131072     		x = 0.77252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97049 ÷ 217
    97049 ÷ 131072     		y = 0.740425109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    0.5450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71230605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740425109863281 × 2 - 1) × π
    -0.480850219726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.51063551772683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71230605} λ = 1.71230605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51063551772683))-π/2
    2×atan(0.220769630353771)-π/2
    2×0.217284286222588-π/2
    0.434568572445176-1.57079632675     		φ = -1.13622775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71230605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13622775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.101055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101256 KachelY 97049 1.71230605 -1.13622775 98.107910 -65.101055
    Oben rechts KachelX + 1 101257 KachelY 97049 1.71235399 -1.13622775 98.110657 -65.101055
    Unten links KachelX 101256 KachelY + 1 97050 1.71230605 -1.13624794 98.107910 -65.102211
    Unten rechts KachelX + 1 101257 KachelY + 1 97050 1.71235399 -1.13624794 98.110657 -65.102211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13622775--1.13624794) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dl = 128.630490000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13622775--1.13624794) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dr = 128.630490000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71230605-1.71235399) × cos(-1.13622775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421019117380812 × 6371000     		do = 128.590075480097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71230605-1.71235399) × cos(-1.13624794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421000803919884 × 6371000     		du = 128.584482077741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13622775)-sin(-1.13624794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421019117380812-0.421000803919884)×R²
    abs(1.71235399-1.71230605)×1.8313460927788e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8313460927788e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8313460927788e-05×40589641000000     		ar = 16540.2446777707m²