Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101255 / 98421
↖ ↑ ↗
← S 66.641001°
E 98.105164°		 ← 121.07 m → S 66.641001°
E 98.107910°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
S 66.642091°
E 98.105164°		 ← 121.07 m →
14 663 m²		 S 66.642091°
E 98.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772518157958984 y=0.750896453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772518157958984 × 217)
    floor (0.772518157958984 × 131072)
    floor (101255.5)     		tx = 101255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750896453857422 × 217)
    floor (0.750896453857422 × 131072)
    floor (98421.5)     		ty = 98421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101255 / 98421 ti = "17/101255/98421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101255/98421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101255 ÷ 217
    101255 ÷ 131072     		x = 0.772514343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98421 ÷ 217
    98421 ÷ 131072     		y = 0.750892639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772514343261719 × 2 - 1) × π
    0.545028686523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.71225812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750892639160156 × 2 - 1) × π
    -0.501785278320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.57640494400555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71225812} λ = 1.71225812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57640494400555))-π/2
    2×atan(0.206716922868023)-π/2
    2×0.203845718189354-π/2
    0.407691436378709-1.57079632675     		φ = -1.16310489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71225812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.105164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16310489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.641001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101255 KachelY 98421 1.71225812 -1.16310489 98.105164 -66.641001
    Oben rechts KachelX + 1 101256 KachelY 98421 1.71230605 -1.16310489 98.107910 -66.641001
    Unten links KachelX 101255 KachelY + 1 98422 1.71225812 -1.16312390 98.105164 -66.642091
    Unten rechts KachelX + 1 101256 KachelY + 1 98422 1.71230605 -1.16312390 98.107910 -66.642091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16310489--1.16312390) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dl = 121.112709999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16310489--1.16312390) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dr = 121.112709999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71225812-1.71230605) × cos(-1.16310489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396491036292277 × 6371000     		do = 121.073307719088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71225812-1.71230605) × cos(-1.16312390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396473584306985 × 6371000     		du = 121.067978545431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16310489)-sin(-1.16312390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396491036292277-0.396473584306985)×R²
    abs(1.71230605-1.71225812)×1.74519852927935e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74519852927935e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74519852927935e-05×40589641000000     		ar = 14663.1936914444m²