Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101254 / 98430
↖ ↑ ↗
← S 66.650801°
E 98.102417°		 ← 121.05 m → S 66.650801°
E 98.105164°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
S 66.651889°
E 98.102417°		 ← 121.05 m →
14 645 m²		 S 66.651889°
E 98.105164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772510528564453 y=0.750965118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772510528564453 × 217)
    floor (0.772510528564453 × 131072)
    floor (101254.5)     		tx = 101254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750965118408203 × 217)
    floor (0.750965118408203 × 131072)
    floor (98430.5)     		ty = 98430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101254 / 98430 ti = "17/101254/98430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101254/98430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101254 ÷ 217
    101254 ÷ 131072     		x = 0.772506713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98430 ÷ 217
    98430 ÷ 131072     		y = 0.750961303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772506713867188 × 2 - 1) × π
    0.545013427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71221018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750961303710938 × 2 - 1) × π
    -0.501922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57683637610213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71221018} λ = 1.71221018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57683637610213))-π/2
    2×atan(0.206627757788313)-π/2
    2×0.203760205645973-π/2
    0.407520411291946-1.57079632675     		φ = -1.16327592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71221018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.102417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16327592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.650801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101254 KachelY 98430 1.71221018 -1.16327592 98.102417 -66.650801
    Oben rechts KachelX + 1 101255 KachelY 98430 1.71225812 -1.16327592 98.105164 -66.650801
    Unten links KachelX 101254 KachelY + 1 98431 1.71221018 -1.16329491 98.102417 -66.651889
    Unten rechts KachelX + 1 101255 KachelY + 1 98431 1.71225812 -1.16329491 98.105164 -66.651889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16327592--1.16329491) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16327592--1.16329491) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71221018-1.71225812) × cos(-1.16327592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39633401835356 × 6371000     		do = 121.05061084273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71221018-1.71225812) × cos(-1.16329491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396316583441726 × 6371000     		du = 121.045285771881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16327592)-sin(-1.16329491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39633401835356-0.396316583441726)×R²
    abs(1.71225812-1.71221018)×1.74349118343686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74349118343686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74349118343686e-05×40589641000000     		ar = 14645.0211302585m²