Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101254 / 97150
↖ ↑ ↗
← S 65.217591°
E 98.102417°		 ← 128.03 m → S 65.217591°
E 98.105164°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
S 65.218742°
E 98.102417°		 ← 128.02 m →
16 386 m²		 S 65.218742°
E 98.105164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772510528564453 y=0.741199493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772510528564453 × 217)
    floor (0.772510528564453 × 131072)
    floor (101254.5)     		tx = 101254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741199493408203 × 217)
    floor (0.741199493408203 × 131072)
    floor (97150.5)     		ty = 97150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101254 / 97150 ti = "17/101254/97150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101254/97150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101254 ÷ 217
    101254 ÷ 131072     		x = 0.772506713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97150 ÷ 217
    97150 ÷ 131072     		y = 0.741195678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772506713867188 × 2 - 1) × π
    0.545013427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71221018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741195678710938 × 2 - 1) × π
    -0.482391357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51547714458846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71221018} λ = 1.71221018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51547714458846))-π/2
    2×atan(0.219703329579415)-π/2
    2×0.216267312909275-π/2
    0.43253462581855-1.57079632675     		φ = -1.13826170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71221018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.102417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13826170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.217591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101254 KachelY 97150 1.71221018 -1.13826170 98.102417 -65.217591
    Oben rechts KachelX + 1 101255 KachelY 97150 1.71225812 -1.13826170 98.105164 -65.217591
    Unten links KachelX 101254 KachelY + 1 97151 1.71221018 -1.13828179 98.102417 -65.218742
    Unten rechts KachelX + 1 101255 KachelY + 1 97151 1.71225812 -1.13828179 98.105164 -65.218742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13826170--1.13828179) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13826170--1.13828179) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71221018-1.71225812) × cos(-1.13826170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419173349849449 × 6371000     		do = 128.026330565963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71221018-1.71225812) × cos(-1.13828179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419155109928916 × 6371000     		du = 128.020759624737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13826170)-sin(-1.13828179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419173349849449-0.419155109928916)×R²
    abs(1.71225812-1.71221018)×1.8239920532459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8239920532459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8239920532459e-05×40589641000000     		ar = 16386.1675370135m²