Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101253 / 98181
↖ ↑ ↗
← S 66.378258°
E 98.099670°		 ← 122.38 m → S 66.378258°
E 98.102417°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
S 66.379359°
E 98.099670°		 ← 122.38 m →
14 978 m²		 S 66.379359°
E 98.102417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772502899169922 y=0.749065399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772502899169922 × 217)
    floor (0.772502899169922 × 131072)
    floor (101253.5)     		tx = 101253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749065399169922 × 217)
    floor (0.749065399169922 × 131072)
    floor (98181.5)     		ty = 98181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101253 / 98181 ti = "17/101253/98181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101253/98181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101253 ÷ 217
    101253 ÷ 131072     		x = 0.772499084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98181 ÷ 217
    98181 ÷ 131072     		y = 0.749061584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772499084472656 × 2 - 1) × π
    0.544998168945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71216224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749061584472656 × 2 - 1) × π
    -0.498123168945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.56490008809673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71216224} λ = 1.71216224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56490008809673))-π/2
    2×atan(0.209108904598263)-π/2
    2×0.206138583529751-π/2
    0.412277167059502-1.57079632675     		φ = -1.15851916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71216224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.099670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15851916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.378258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101253 KachelY 98181 1.71216224 -1.15851916 98.099670 -66.378258
    Oben rechts KachelX + 1 101254 KachelY 98181 1.71221018 -1.15851916 98.102417 -66.378258
    Unten links KachelX 101253 KachelY + 1 98182 1.71216224 -1.15853837 98.099670 -66.379359
    Unten rechts KachelX + 1 101254 KachelY + 1 98182 1.71221018 -1.15853837 98.102417 -66.379359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15851916--1.15853837) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dl = 122.386910000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15851916--1.15853837) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dr = 122.386910000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71216224-1.71221018) × cos(-1.15851916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400696729772503 × 6371000     		do = 122.383095206267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71216224-1.71221018) × cos(-1.15853837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400679129290144 × 6371000     		du = 122.377719565918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15851916)-sin(-1.15853837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400696729772503-0.400679129290144)×R²
    abs(1.71221018-1.71216224)×1.76004823594922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76004823594922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76004823594922e-05×40589641000000     		ar = 14977.7599051383m²