Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101253 / 98180
↖ ↑ ↗
← S 66.377158°
E 98.099670°		 ← 122.39 m → S 66.377158°
E 98.102417°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
S 66.378258°
E 98.099670°		 ← 122.38 m →
14 978 m²		 S 66.378258°
E 98.102417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772502899169922 y=0.749057769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772502899169922 × 217)
    floor (0.772502899169922 × 131072)
    floor (101253.5)     		tx = 101253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749057769775391 × 217)
    floor (0.749057769775391 × 131072)
    floor (98180.5)     		ty = 98180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101253 / 98180 ti = "17/101253/98180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101253/98180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101253 ÷ 217
    101253 ÷ 131072     		x = 0.772499084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98180 ÷ 217
    98180 ÷ 131072     		y = 0.749053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772499084472656 × 2 - 1) × π
    0.544998168945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71216224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.49810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56485215119711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71216224} λ = 1.71216224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56485215119711))-π/2
    2×atan(0.209118928871097)-π/2
    2×0.206148187820123-π/2
    0.412296375640246-1.57079632675     		φ = -1.15849995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71216224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.099670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15849995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.377158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101253 KachelY 98180 1.71216224 -1.15849995 98.099670 -66.377158
    Oben rechts KachelX + 1 101254 KachelY 98180 1.71221018 -1.15849995 98.102417 -66.377158
    Unten links KachelX 101253 KachelY + 1 98181 1.71216224 -1.15851916 98.099670 -66.378258
    Unten rechts KachelX + 1 101254 KachelY + 1 98181 1.71221018 -1.15851916 98.102417 -66.378258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15849995--1.15851916) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dl = 122.386910000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15849995--1.15851916) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dr = 122.386910000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71216224-1.71221018) × cos(-1.15849995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400714330106996 × 6371000     		do = 122.388470801453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71216224-1.71221018) × cos(-1.15851916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400696729772503 × 6371000     		du = 122.383095206267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15849995)-sin(-1.15851916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400714330106996-0.400696729772503)×R²
    abs(1.71221018-1.71216224)×1.76003344927178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76003344927178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76003344927178e-05×40589641000000     		ar = 14978.4178102332m²