Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101250 / 99191
↖ ↑ ↗
← S 67.465451°
E 98.091430°		 ← 117.05 m → S 67.465451°
E 98.094177°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.466503°
E 98.091430°		 ← 117.05 m →
13 699 m²		 S 67.466503°
E 98.094177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772480010986328 y=0.756771087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772480010986328 × 217)
    floor (0.772480010986328 × 131072)
    floor (101250.5)     		tx = 101250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756771087646484 × 217)
    floor (0.756771087646484 × 131072)
    floor (99191.5)     		ty = 99191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101250 / 99191 ti = "17/101250/99191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101250/99191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101250 ÷ 217
    101250 ÷ 131072     		x = 0.772476196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99191 ÷ 217
    99191 ÷ 131072     		y = 0.756767272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772476196289062 × 2 - 1) × π
    0.544952392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71201843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756767272949219 × 2 - 1) × π
    -0.513534545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.61331635671299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71201843} λ = 1.71201843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61331635671299))-π/2
    2×atan(0.199225813434414)-π/2
    2×0.196651038982429-π/2
    0.393302077964858-1.57079632675     		φ = -1.17749425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71201843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.091430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17749425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.465451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101250 KachelY 99191 1.71201843 -1.17749425 98.091430 -67.465451
    Oben rechts KachelX + 1 101251 KachelY 99191 1.71206637 -1.17749425 98.094177 -67.465451
    Unten links KachelX 101250 KachelY + 1 99192 1.71201843 -1.17751262 98.091430 -67.466503
    Unten rechts KachelX + 1 101251 KachelY + 1 99192 1.71206637 -1.17751262 98.094177 -67.466503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17749425--1.17751262) × R
    1.83699999998232e-05 × 6371000     		dl = 117.035269998874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17749425--1.17751262) × R
    1.83699999998232e-05 × 6371000     		dr = 117.035269998874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71201843-1.71206637) × cos(-1.17749425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383240457586452 × 6371000     		do = 117.051500356204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71201843-1.71206637) × cos(-1.17751262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383223490096854 × 6371000     		du = 117.046318048138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17749425)-sin(-1.17751262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383240457586452-0.383223490096854)×R²
    abs(1.71206637-1.71201843)×1.6967489597508e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6967489597508e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6967489597508e-05×40589641000000     		ar = 13698.8506920214m²