Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101249 / 99195
↖ ↑ ↗
← S 67.469661°
E 98.088684°		 ← 117.01 m → S 67.469661°
E 98.091430°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.470714°
E 98.088684°		 ← 117 m →
13 694 m²		 S 67.470714°
E 98.091430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772472381591797 y=0.756801605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772472381591797 × 217)
    floor (0.772472381591797 × 131072)
    floor (101249.5)     		tx = 101249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756801605224609 × 217)
    floor (0.756801605224609 × 131072)
    floor (99195.5)     		ty = 99195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101249 / 99195 ti = "17/101249/99195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101249/99195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101249 ÷ 217
    101249 ÷ 131072     		x = 0.772468566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99195 ÷ 217
    99195 ÷ 131072     		y = 0.756797790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772468566894531 × 2 - 1) × π
    0.544937133789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71197050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756797790527344 × 2 - 1) × π
    -0.513595581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.61350810431147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71197050} λ = 1.71197050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61350810431147))-π/2
    2×atan(0.19918761602538)-π/2
    2×0.196614299517179-π/2
    0.393228599034358-1.57079632675     		φ = -1.17756773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71197050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.088684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17756773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.469661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101249 KachelY 99195 1.71197050 -1.17756773 98.088684 -67.469661
    Oben rechts KachelX + 1 101250 KachelY 99195 1.71201843 -1.17756773 98.091430 -67.469661
    Unten links KachelX 101249 KachelY + 1 99196 1.71197050 -1.17758610 98.088684 -67.470714
    Unten rechts KachelX + 1 101250 KachelY + 1 99196 1.71201843 -1.17758610 98.091430 -67.470714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17756773--1.17758610) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17756773--1.17758610) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71197050-1.71201843) × cos(-1.17756773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383172586852155 × 6371000     		do = 117.006358961597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71197050-1.71201843) × cos(-1.17758610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383155618845307 × 6371000     		du = 117.001177576581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17756773)-sin(-1.17758610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383172586852155-0.383155618845307)×R²
    abs(1.71201843-1.71197050)×1.69680068489719e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69680068489719e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69680068489719e-05×40589641000000     		ar = 13693.5676107775m²