Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101247 / 97919
↖ ↑ ↗
← S 66.088251°
E 98.083191°		 ← 123.80 m → S 66.088251°
E 98.085938°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.089364°
E 98.083191°		 ← 123.79 m →
15 324 m²		 S 66.089364°
E 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772457122802734 y=0.747066497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772457122802734 × 217)
    floor (0.772457122802734 × 131072)
    floor (101247.5)     		tx = 101247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747066497802734 × 217)
    floor (0.747066497802734 × 131072)
    floor (97919.5)     		ty = 97919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101247 / 97919 ti = "17/101247/97919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101247/97919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101247 ÷ 217
    101247 ÷ 131072     		x = 0.772453308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97919 ÷ 217
    97919 ÷ 131072     		y = 0.747062683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772453308105469 × 2 - 1) × π
    0.544906616210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71187462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747062683105469 × 2 - 1) × π
    -0.494125366210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.55234062039628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71187462} λ = 1.71187462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55234062039628))-π/2
    2×atan(0.211751762837458)-π/2
    2×0.208669374767843-π/2
    0.417338749535685-1.57079632675     		φ = -1.15345758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71187462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.083191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15345758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.088251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101247 KachelY 97919 1.71187462 -1.15345758 98.083191 -66.088251
    Oben rechts KachelX + 1 101248 KachelY 97919 1.71192256 -1.15345758 98.085938 -66.088251
    Unten links KachelX 101247 KachelY + 1 97920 1.71187462 -1.15347701 98.083191 -66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 101248 KachelY + 1 97920 1.71192256 -1.15347701 98.085938 -66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15345758--1.15347701) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15345758--1.15347701) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71187462-1.71192256) × cos(-1.15345758) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405329051125212 × 6371000     		do = 123.797925383908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71187462-1.71192256) × cos(-1.15347701) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 123.792500284763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15345758)-sin(-1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405329051125212-0.405311288708903)×R²
    abs(1.71192256-1.71187462)×1.77624163094081e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77624163094081e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77624163094081e-05×40589641000000     		ar = 15324.4274182974m²