Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101245 / 98428
↖ ↑ ↗
← S 66.648623°
E 98.077698°		 ← 121.06 m → S 66.648623°
E 98.080445°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
S 66.649712°
E 98.077698°		 ← 121.06 m →
14 654 m²		 S 66.649712°
E 98.080445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772441864013672 y=0.750949859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772441864013672 × 217)
    floor (0.772441864013672 × 131072)
    floor (101245.5)     		tx = 101245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750949859619141 × 217)
    floor (0.750949859619141 × 131072)
    floor (98428.5)     		ty = 98428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101245 / 98428 ti = "17/101245/98428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101245/98428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101245 ÷ 217
    101245 ÷ 131072     		x = 0.772438049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98428 ÷ 217
    98428 ÷ 131072     		y = 0.750946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772438049316406 × 2 - 1) × π
    0.544876098632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71177875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.50189208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57674050230289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71177875} λ = 1.71177875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57674050230289))-π/2
    2×atan(0.20664756892615)-π/2
    2×0.203779205506414-π/2
    0.407558411012828-1.57079632675     		φ = -1.16323792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71177875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.077698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16323792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.648623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101245 KachelY 98428 1.71177875 -1.16323792 98.077698 -66.648623
    Oben rechts KachelX + 1 101246 KachelY 98428 1.71182669 -1.16323792 98.080445 -66.648623
    Unten links KachelX 101245 KachelY + 1 98429 1.71177875 -1.16325692 98.077698 -66.649712
    Unten rechts KachelX + 1 101246 KachelY + 1 98429 1.71182669 -1.16325692 98.080445 -66.649712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16323792--1.16325692) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16323792--1.16325692) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71177875-1.71182669) × cos(-1.16323792) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396368906110271 × 6371000     		do = 121.061266462201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71177875-1.71182669) × cos(-1.16325692) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396351462303457 × 6371000     		du = 121.055938674597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16323792)-sin(-1.16325692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396368906110271-0.396351462303457)×R²
    abs(1.71182669-1.71177875)×1.74438068140104e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74438068140104e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74438068140104e-05×40589641000000     		ar = 14654.022782703m²