Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101244 / 98188
↖ ↑ ↗
← S 66.385961°
E 98.074951°		 ← 122.35 m → S 66.385961°
E 98.077698°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
S 66.387061°
E 98.074951°		 ← 122.34 m →
14 965 m²		 S 66.387061°
E 98.077698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772434234619141 y=0.749118804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772434234619141 × 217)
    floor (0.772434234619141 × 131072)
    floor (101244.5)     		tx = 101244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749118804931641 × 217)
    floor (0.749118804931641 × 131072)
    floor (98188.5)     		ty = 98188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101244 / 98188 ti = "17/101244/98188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101244/98188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101244 ÷ 217
    101244 ÷ 131072     		x = 0.772430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98188 ÷ 217
    98188 ÷ 131072     		y = 0.749114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772430419921875 × 2 - 1) × π
    0.54486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71173081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.49822998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56523564639407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71173081} λ = 1.71173081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56523564639407))-π/2
    2×atan(0.209038748141726)-π/2
    2×0.206071365307102-π/2
    0.412142730614205-1.57079632675     		φ = -1.15865360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71173081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15865360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.385961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101244 KachelY 98188 1.71173081 -1.15865360 98.074951 -66.385961
    Oben rechts KachelX + 1 101245 KachelY 98188 1.71177875 -1.15865360 98.077698 -66.385961
    Unten links KachelX 101244 KachelY + 1 98189 1.71173081 -1.15867280 98.074951 -66.387061
    Unten rechts KachelX + 1 101245 KachelY + 1 98189 1.71177875 -1.15867280 98.077698 -66.387061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15865360--1.15867280) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dl = 122.323199999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15865360--1.15867280) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dr = 122.323199999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71173081-1.71177875) × cos(-1.15865360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400573550779087 × 6371000     		do = 122.34547317105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71173081-1.71177875) × cos(-1.15867280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400555958424796 × 6371000     		du = 122.340100013222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15865360)-sin(-1.15867280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400573550779087-0.400555958424796)×R²
    abs(1.71177875-1.71173081)×1.75923542908851e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75923542908851e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75923542908851e-05×40589641000000     		ar = 14965.3611532514m²