Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101244 / 97124
↖ ↑ ↗
← S 65.187641°
E 98.074951°		 ← 128.17 m → S 65.187641°
E 98.077698°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.188793°
E 98.074951°		 ← 128.17 m →
16 429 m²		 S 65.188793°
E 98.077698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772434234619141 y=0.741001129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772434234619141 × 217)
    floor (0.772434234619141 × 131072)
    floor (101244.5)     		tx = 101244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741001129150391 × 217)
    floor (0.741001129150391 × 131072)
    floor (97124.5)     		ty = 97124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101244 / 97124 ti = "17/101244/97124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101244/97124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101244 ÷ 217
    101244 ÷ 131072     		x = 0.772430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97124 ÷ 217
    97124 ÷ 131072     		y = 0.740997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772430419921875 × 2 - 1) × π
    0.54486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71173081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.48199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51423078519833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71173081} λ = 1.71173081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51423078519833))-π/2
    2×atan(0.219977329603059)-π/2
    2×0.216528681068433-π/2
    0.433057362136866-1.57079632675     		φ = -1.13773896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71173081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13773896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.187641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101244 KachelY 97124 1.71173081 -1.13773896 98.074951 -65.187641
    Oben rechts KachelX + 1 101245 KachelY 97124 1.71177875 -1.13773896 98.077698 -65.187641
    Unten links KachelX 101244 KachelY + 1 97125 1.71173081 -1.13775908 98.074951 -65.188793
    Unten rechts KachelX + 1 101245 KachelY + 1 97125 1.71177875 -1.13775908 98.077698 -65.188793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13773896--1.13775908) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dl = 128.184519999018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13773896--1.13775908) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dr = 128.184519999018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71173081-1.71177875) × cos(-1.13773896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		do = 128.171267786628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71173081-1.71177875) × cos(-1.13775908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419629628706882 × 6371000     		du = 128.165689873641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13773896)-sin(-1.13775908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419647891453786-0.419629628706882)×R²
    abs(1.71177875-1.71173081)×1.82627469043628e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82627469043628e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82627469043628e-05×40589641000000     		ar = 16429.2149385397m²