Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101243 / 98285
↖ ↑ ↗
← S 66.492454°
E 98.072204°		 ← 121.83 m → S 66.492454°
E 98.074951°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
S 66.493549°
E 98.072204°		 ← 121.82 m →
14 840 m²		 S 66.493549°
E 98.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772426605224609 y=0.749858856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772426605224609 × 217)
    floor (0.772426605224609 × 131072)
    floor (101243.5)     		tx = 101243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749858856201172 × 217)
    floor (0.749858856201172 × 131072)
    floor (98285.5)     		ty = 98285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101243 / 98285 ti = "17/101243/98285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101243/98285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101243 ÷ 217
    101243 ÷ 131072     		x = 0.772422790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98285 ÷ 217
    98285 ÷ 131072     		y = 0.749855041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772422790527344 × 2 - 1) × π
    0.544845581054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.71168287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749855041503906 × 2 - 1) × π
    -0.499710083007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.56988552565722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71168287} λ = 1.71168287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56988552565722))-π/2
    2×atan(0.208068999555743)-π/2
    2×0.205142037627438-π/2
    0.410284075254877-1.57079632675     		φ = -1.16051225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71168287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.072204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16051225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.492454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101243 KachelY 98285 1.71168287 -1.16051225 98.072204 -66.492454
    Oben rechts KachelX + 1 101244 KachelY 98285 1.71173081 -1.16051225 98.074951 -66.492454
    Unten links KachelX 101243 KachelY + 1 98286 1.71168287 -1.16053137 98.072204 -66.493549
    Unten rechts KachelX + 1 101244 KachelY + 1 98286 1.71173081 -1.16053137 98.074951 -66.493549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16051225--1.16053137) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dl = 121.813519999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16051225--1.16053137) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dr = 121.813519999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71168287-1.71173081) × cos(-1.16051225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398869844640986 × 6371000     		do = 121.825117463078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71168287-1.71173081) × cos(-1.16053137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39885231138372 × 6371000     		du = 121.819762355003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16051225)-sin(-1.16053137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398869844640986-0.39885231138372)×R²
    abs(1.71173081-1.71168287)×1.75332572660558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75332572660558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75332572660558e-05×40589641000000     		ar = 14839.6202206766m²