Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101242 / 97094
↖ ↑ ↗
← S 65.153040°
E 98.069458°		 ← 128.31 m → S 65.153040°
E 98.072204°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
S 65.154194°
E 98.069458°		 ← 128.31 m →
16 464 m²		 S 65.154194°
E 98.072204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772418975830078 y=0.740772247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772418975830078 × 217)
    floor (0.772418975830078 × 131072)
    floor (101242.5)     		tx = 101242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740772247314453 × 217)
    floor (0.740772247314453 × 131072)
    floor (97094.5)     		ty = 97094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101242 / 97094 ti = "17/101242/97094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101242/97094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101242 ÷ 217
    101242 ÷ 131072     		x = 0.772415161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97094 ÷ 217
    97094 ÷ 131072     		y = 0.740768432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772415161132812 × 2 - 1) × π
    0.544830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71163494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740768432617188 × 2 - 1) × π
    -0.481536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51279267820973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71163494} λ = 1.71163494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51279267820973))-π/2
    2×atan(0.220293908120423)-π/2
    2×0.216830627359854-π/2
    0.433661254719708-1.57079632675     		φ = -1.13713507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71163494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.069458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13713507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.153040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101242 KachelY 97094 1.71163494 -1.13713507 98.069458 -65.153040
    Oben rechts KachelX + 1 101243 KachelY 97094 1.71168287 -1.13713507 98.072204 -65.153040
    Unten links KachelX 101242 KachelY + 1 97095 1.71163494 -1.13715521 98.069458 -65.154194
    Unten rechts KachelX + 1 101243 KachelY + 1 97095 1.71168287 -1.13715521 98.072204 -65.154194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13713507--1.13715521) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13713507--1.13715521) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71163494-1.71168287) × cos(-1.13713507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420195957989421 × 6371000     		do = 128.311890729523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71163494-1.71168287) × cos(-1.13715521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420177682195732 × 6371000     		du = 128.306309996062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13713507)-sin(-1.13715521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420195957989421-0.420177682195732)×R²
    abs(1.71168287-1.71163494)×1.82757936887379e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82757936887379e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82757936887379e-05×40589641000000     		ar = 16463.5895877257m²