Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101240 / 97088
↖ ↑ ↗
← S 65.146115°
E 98.063965°		 ← 128.37 m → S 65.146115°
E 98.066711°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
S 65.147269°
E 98.063965°		 ← 128.37 m →
16 480 m²		 S 65.147269°
E 98.066711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772403717041016 y=0.740726470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772403717041016 × 217)
    floor (0.772403717041016 × 131072)
    floor (101240.5)     		tx = 101240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740726470947266 × 217)
    floor (0.740726470947266 × 131072)
    floor (97088.5)     		ty = 97088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101240 / 97088 ti = "17/101240/97088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101240/97088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101240 ÷ 217
    101240 ÷ 131072     		x = 0.77239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97088 ÷ 217
    97088 ÷ 131072     		y = 0.74072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77239990234375 × 2 - 1) × π
    0.5447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71153906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74072265625 × 2 - 1) × π
    -0.4814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51250505681201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71153906} λ = 1.71153906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51250505681201))-π/2
    2×atan(0.220357278475084)-π/2
    2×0.216891063920358-π/2
    0.433782127840716-1.57079632675     		φ = -1.13701420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71153906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13701420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.146115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101240 KachelY 97088 1.71153906 -1.13701420 98.063965 -65.146115
    Oben rechts KachelX + 1 101241 KachelY 97088 1.71158700 -1.13701420 98.066711 -65.146115
    Unten links KachelX 101240 KachelY + 1 97089 1.71153906 -1.13703435 98.063965 -65.147269
    Unten rechts KachelX + 1 101241 KachelY + 1 97089 1.71158700 -1.13703435 98.066711 -65.147269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13701420--1.13703435) × R
    2.01499999998855e-05 × 6371000     		dl = 128.375649999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13701420--1.13703435) × R
    2.01499999998855e-05 × 6371000     		dr = 128.375649999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71153906-1.71158700) × cos(-1.13701420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420305636393538 × 6371000     		do = 128.372160021583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71153906-1.71158700) × cos(-1.13703435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420287352548942 × 6371000     		du = 128.366575664817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13701420)-sin(-1.13703435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420305636393538-0.420287352548942)×R²
    abs(1.71158700-1.71153906)×1.8283844595901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8283844595901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8283844595901e-05×40589641000000     		ar = 16479.5010373493m²