Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101239 / 98167
↖ ↑ ↗
← S 66.362846°
E 98.061218°		 ← 122.43 m → S 66.362846°
E 98.063965°		 →
↑
122.45 m
↓
↑
122.45 m
↓
S 66.363947°
E 98.061218°		 ← 122.43 m →
14 992 m²		 S 66.363947°
E 98.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772396087646484 y=0.748958587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772396087646484 × 217)
    floor (0.772396087646484 × 131072)
    floor (101239.5)     		tx = 101239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748958587646484 × 217)
    floor (0.748958587646484 × 131072)
    floor (98167.5)     		ty = 98167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101239 / 98167 ti = "17/101239/98167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101239/98167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101239 ÷ 217
    101239 ÷ 131072     		x = 0.772392272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98167 ÷ 217
    98167 ÷ 131072     		y = 0.748954772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772392272949219 × 2 - 1) × π
    0.544784545898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.71149113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748954772949219 × 2 - 1) × π
    -0.497909545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56422897150205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71149113} λ = 1.71149113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56422897150205))-π/2
    2×atan(0.209249288155833)-π/2
    2×0.206273081986856-π/2
    0.412546163973712-1.57079632675     		φ = -1.15825016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71149113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.061218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15825016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.362846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101239 KachelY 98167 1.71149113 -1.15825016 98.061218 -66.362846
    Oben rechts KachelX + 1 101240 KachelY 98167 1.71153906 -1.15825016 98.063965 -66.362846
    Unten links KachelX 101239 KachelY + 1 98168 1.71149113 -1.15826938 98.061218 -66.363947
    Unten rechts KachelX + 1 101240 KachelY + 1 98168 1.71153906 -1.15826938 98.063965 -66.363947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15825016--1.15826938) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dl = 122.450619999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15825016--1.15826938) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dr = 122.450619999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71149113-1.71153906) × cos(-1.15825016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400943175962747 × 6371000     		do = 122.432822126707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71149113-1.71153906) × cos(-1.15826938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400925568390469 × 6371000     		du = 122.427445442692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15825016)-sin(-1.15826938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400943175962747-0.400925568390469)×R²
    abs(1.71153906-1.71149113)×1.76075722780888e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76075722780888e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76075722780888e-05×40589641000000     		ar = 14991.6457889793m²