Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101238 / 97136
↖ ↑ ↗
← S 65.201468°
E 98.058472°		 ← 128.10 m → S 65.201468°
E 98.061218°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
S 65.202621°
E 98.058472°		 ← 128.10 m →
16 412 m²		 S 65.202621°
E 98.061218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772388458251953 y=0.741092681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772388458251953 × 217)
    floor (0.772388458251953 × 131072)
    floor (101238.5)     		tx = 101238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741092681884766 × 217)
    floor (0.741092681884766 × 131072)
    floor (97136.5)     		ty = 97136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101238 / 97136 ti = "17/101238/97136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101238/97136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101238 ÷ 217
    101238 ÷ 131072     		x = 0.772384643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97136 ÷ 217
    97136 ÷ 131072     		y = 0.7410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772384643554688 × 2 - 1) × π
    0.544769287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71144319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71144319} λ = 1.71144319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51480602799377))-π/2
    2×atan(0.219850825617786)-π/2
    2×0.216408012863344-π/2
    0.432816025726688-1.57079632675     		φ = -1.13798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71144319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.058472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.201468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101238 KachelY 97136 1.71144319 -1.13798030 98.058472 -65.201468
    Oben rechts KachelX + 1 101239 KachelY 97136 1.71149113 -1.13798030 98.061218 -65.201468
    Unten links KachelX 101238 KachelY + 1 97137 1.71144319 -1.13800041 98.058472 -65.202621
    Unten rechts KachelX + 1 101239 KachelY + 1 97137 1.71149113 -1.13800041 98.061218 -65.202621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13798030--1.13800041) × R
    2.01100000001286e-05 × 6371000     		dl = 128.12081000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13798030--1.13800041) × R
    2.01100000001286e-05 × 6371000     		dr = 128.12081000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71144319-1.71149113) × cos(-1.13798030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419428818059824 × 6371000     		do = 128.104357133163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71144319-1.71149113) × cos(-1.13800041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419410562353753 × 6371000     		du = 128.098781370627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13798030)-sin(-1.13800041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419428818059824-0.419410562353753)×R²
    abs(1.71149113-1.71144319)×1.82557060715571e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82557060715571e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82557060715571e-05×40589641000000     		ar = 16412.4768156013m²