Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101236 / 98228
↖ ↑ ↗
← S 66.429931°
E 98.052979°		 ← 122.11 m → S 66.429931°
E 98.055725°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.431029°
E 98.052979°		 ← 122.10 m →
14 913 m²		 S 66.431029°
E 98.055725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772373199462891 y=0.749423980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772373199462891 × 217)
    floor (0.772373199462891 × 131072)
    floor (101236.5)     		tx = 101236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749423980712891 × 217)
    floor (0.749423980712891 × 131072)
    floor (98228.5)     		ty = 98228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101236 / 98228 ti = "17/101236/98228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101236/98228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101236 ÷ 217
    101236 ÷ 131072     		x = 0.772369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98228 ÷ 217
    98228 ÷ 131072     		y = 0.749420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772369384765625 × 2 - 1) × π
    0.54473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71134732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.49884033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56715312237888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71134732} λ = 1.71134732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56715312237888))-π/2
    2×atan(0.20863830540463)-π/2
    2×0.205687657429413-π/2
    0.411375314858826-1.57079632675     		φ = -1.15942101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71134732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15942101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.429931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101236 KachelY 98228 1.71134732 -1.15942101 98.052979 -66.429931
    Oben rechts KachelX + 1 101237 KachelY 98228 1.71139525 -1.15942101 98.055725 -66.429931
    Unten links KachelX 101236 KachelY + 1 98229 1.71134732 -1.15944018 98.052979 -66.431029
    Unten rechts KachelX + 1 101237 KachelY + 1 98229 1.71139525 -1.15944018 98.055725 -66.431029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15942101--1.15944018) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15942101--1.15944018) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71134732-1.71139525) × cos(-1.15942101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399870282273386 × 6371000     		do = 122.105201131749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71134732-1.71139525) × cos(-1.15944018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399852711519628 × 6371000     		du = 122.099835690713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15942101)-sin(-1.15944018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399870282273386-0.399852711519628)×R²
    abs(1.71139525-1.71134732)×1.75707537579117e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75707537579117e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75707537579117e-05×40589641000000     		ar = 14912.6333263956m²