Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101234 / 98233
↖ ↑ ↗
← S 66.435421°
E 98.047485°		 ← 122.10 m → S 66.435421°
E 98.050232°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.436520°
E 98.047485°		 ← 122.10 m →
14 912 m²		 S 66.436520°
E 98.050232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772357940673828 y=0.749462127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772357940673828 × 217)
    floor (0.772357940673828 × 131072)
    floor (101234.5)     		tx = 101234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749462127685547 × 217)
    floor (0.749462127685547 × 131072)
    floor (98233.5)     		ty = 98233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101234 / 98233 ti = "17/101234/98233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101234/98233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101234 ÷ 217
    101234 ÷ 131072     		x = 0.772354125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98233 ÷ 217
    98233 ÷ 131072     		y = 0.749458312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772354125976562 × 2 - 1) × π
    0.544708251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71125144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749458312988281 × 2 - 1) × π
    -0.498916625976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.56739280687698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71125144} λ = 1.71125144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56739280687698))-π/2
    2×atan(0.208588304029631)-π/2
    2×0.205639741339232-π/2
    0.411279482678463-1.57079632675     		φ = -1.15951684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71125144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.047485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15951684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.435421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101234 KachelY 98233 1.71125144 -1.15951684 98.047485 -66.435421
    Oben rechts KachelX + 1 101235 KachelY 98233 1.71129938 -1.15951684 98.050232 -66.435421
    Unten links KachelX 101234 KachelY + 1 98234 1.71125144 -1.15953601 98.047485 -66.436520
    Unten rechts KachelX + 1 101235 KachelY + 1 98234 1.71129938 -1.15953601 98.050232 -66.436520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15951684--1.15953601) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15951684--1.15953601) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71125144-1.71129938) × cos(-1.15951684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399782445367448 × 6371000     		do = 122.103849215282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71125144-1.71129938) × cos(-1.15953601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399764873879201 × 6371000     		du = 122.098482430481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15951684)-sin(-1.15953601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399782445367448-0.399764873879201)×R²
    abs(1.71129938-1.71125144)×1.75714882472144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75714882472144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75714882472144e-05×40589641000000     		ar = 14912.4681317948m²