Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101232 / 97968
↖ ↑ ↗
← S 66.142743°
E 98.041992°		 ← 123.53 m → S 66.142743°
E 98.044739°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
S 66.143853°
E 98.041992°		 ← 123.53 m →
15 252 m²		 S 66.143853°
E 98.044739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772342681884766 y=0.747440338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772342681884766 × 217)
    floor (0.772342681884766 × 131072)
    floor (101232.5)     		tx = 101232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747440338134766 × 217)
    floor (0.747440338134766 × 131072)
    floor (97968.5)     		ty = 97968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101232 / 97968 ti = "17/101232/97968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101232/97968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101232 ÷ 217
    101232 ÷ 131072     		x = 0.7723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97968 ÷ 217
    97968 ÷ 131072     		y = 0.7474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7723388671875 × 2 - 1) × π
    0.544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71115557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55468952847766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71115557} λ = 1.71115557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55468952847766))-π/2
    2×atan(0.211254961109698)-π/2
    2×0.208193845230594-π/2
    0.416387690461188-1.57079632675     		φ = -1.15440864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71115557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15440864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.142743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101232 KachelY 97968 1.71115557 -1.15440864 98.041992 -66.142743
    Oben rechts KachelX + 1 101233 KachelY 97968 1.71120351 -1.15440864 98.044739 -66.142743
    Unten links KachelX 101232 KachelY + 1 97969 1.71115557 -1.15442802 98.041992 -66.143853
    Unten rechts KachelX + 1 101233 KachelY + 1 97969 1.71120351 -1.15442802 98.044739 -66.143853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15440864--1.15442802) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dl = 123.469980000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15440864--1.15442802) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dr = 123.469980000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71115557-1.71120351) × cos(-1.15440864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404459436605554 × 6371000     		do = 123.532322725153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71115557-1.71120351) × cos(-1.15442802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404441712435518 × 6371000     		du = 123.526909307404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15440864)-sin(-1.15442802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404459436605554-0.404441712435518)×R²
    abs(1.71120351-1.71115557)×1.77241700361486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77241700361486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77241700361486e-05×40589641000000     		ar = 15252.1992196483m²