Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101231 / 98225
↖ ↑ ↗
← S 66.426635°
E 98.039245°		 ← 122.15 m → S 66.426635°
E 98.041992°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.427734°
E 98.039245°		 ← 122.14 m →
14 918 m²		 S 66.427734°
E 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772335052490234 y=0.749401092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772335052490234 × 217)
    floor (0.772335052490234 × 131072)
    floor (101231.5)     		tx = 101231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749401092529297 × 217)
    floor (0.749401092529297 × 131072)
    floor (98225.5)     		ty = 98225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101231 / 98225 ti = "17/101231/98225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101231/98225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101231 ÷ 217
    101231 ÷ 131072     		x = 0.772331237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98225 ÷ 217
    98225 ÷ 131072     		y = 0.749397277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772331237792969 × 2 - 1) × π
    0.544662475585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71110763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749397277832031 × 2 - 1) × π
    -0.498794555664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.56700931168002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71110763} λ = 1.71110763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56700931168002))-π/2
    2×atan(0.208668311982721)-π/2
    2×0.205716412136721-π/2
    0.411432824273442-1.57079632675     		φ = -1.15936350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71110763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.039245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15936350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.426635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101231 KachelY 98225 1.71110763 -1.15936350 98.039245 -66.426635
    Oben rechts KachelX + 1 101232 KachelY 98225 1.71115557 -1.15936350 98.041992 -66.426635
    Unten links KachelX 101231 KachelY + 1 98226 1.71110763 -1.15938267 98.039245 -66.427734
    Unten rechts KachelX + 1 101232 KachelY + 1 98226 1.71115557 -1.15938267 98.041992 -66.427734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15936350--1.15938267) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15936350--1.15938267) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71110763-1.71115557) × cos(-1.15936350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399922993652946 × 6371000     		do = 122.146776279386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71110763-1.71115557) × cos(-1.15938267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399905423340051 × 6371000     		du = 122.141409853568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15936350)-sin(-1.15938267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399922993652946-0.399905423340051)×R²
    abs(1.71115557-1.71110763)×1.75703128948435e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75703128948435e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75703128948435e-05×40589641000000     		ar = 14917.7109250877m²