Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101230 / 97077
↖ ↑ ↗
← S 65.133414°
E 98.036499°		 ← 128.41 m → S 65.133414°
E 98.039245°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
S 65.134568°
E 98.036499°		 ← 128.40 m →
16 484 m²		 S 65.134568°
E 98.039245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772327423095703 y=0.740642547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772327423095703 × 217)
    floor (0.772327423095703 × 131072)
    floor (101230.5)     		tx = 101230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740642547607422 × 217)
    floor (0.740642547607422 × 131072)
    floor (97077.5)     		ty = 97077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101230 / 97077 ti = "17/101230/97077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101230/97077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101230 ÷ 217
    101230 ÷ 131072     		x = 0.772323608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97077 ÷ 217
    97077 ÷ 131072     		y = 0.740638732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772323608398438 × 2 - 1) × π
    0.544647216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71105970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740638732910156 × 2 - 1) × π
    -0.481277465820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.51197775091619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71105970} λ = 1.71105970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51197775091619))-π/2
    2×atan(0.220473504807933)-π/2
    2×0.217001905254671-π/2
    0.434003810509342-1.57079632675     		φ = -1.13679252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71105970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.036499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13679252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.133414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101230 KachelY 97077 1.71105970 -1.13679252 98.036499 -65.133414
    Oben rechts KachelX + 1 101231 KachelY 97077 1.71110763 -1.13679252 98.039245 -65.133414
    Unten links KachelX 101230 KachelY + 1 97078 1.71105970 -1.13681267 98.036499 -65.134568
    Unten rechts KachelX + 1 101231 KachelY + 1 97078 1.71110763 -1.13681267 98.039245 -65.134568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13679252--1.13681267) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dl = 128.375650000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13679252--1.13681267) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dr = 128.375650000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71105970-1.71110763) × cos(-1.13679252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420506774638009 × 6371000     		do = 128.406802332294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71105970-1.71110763) × cos(-1.13681267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420488492671265 × 6371000     		du = 128.401219713816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13679252)-sin(-1.13681267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420506774638009-0.420488492671265)×R²
    abs(1.71110763-1.71105970)×1.82819667445822e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82819667445822e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82819667445822e-05×40589641000000     		ar = 16483.9483782622m²