Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101229 / 98045
↖ ↑ ↗
← S 66.228137°
E 98.033753°		 ← 123.12 m → S 66.228137°
E 98.036499°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
S 66.229243°
E 98.033753°		 ← 123.11 m →
15 154 m²		 S 66.229243°
E 98.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772319793701172 y=0.748027801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772319793701172 × 217)
    floor (0.772319793701172 × 131072)
    floor (101229.5)     		tx = 101229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748027801513672 × 217)
    floor (0.748027801513672 × 131072)
    floor (98045.5)     		ty = 98045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101229 / 98045 ti = "17/101229/98045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101229/98045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101229 ÷ 217
    101229 ÷ 131072     		x = 0.772315979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98045 ÷ 217
    98045 ÷ 131072     		y = 0.748023986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772315979003906 × 2 - 1) × π
    0.544631958007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71101176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748023986816406 × 2 - 1) × π
    -0.496047973632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.55838066974841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71101176} λ = 1.71101176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55838066974841))-π/2
    2×atan(0.210476626559191)-π/2
    2×0.207448645555091-π/2
    0.414897291110181-1.57079632675     		φ = -1.15589904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71101176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.033753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15589904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.228137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101229 KachelY 98045 1.71101176 -1.15589904 98.033753 -66.228137
    Oben rechts KachelX + 1 101230 KachelY 98045 1.71105970 -1.15589904 98.036499 -66.228137
    Unten links KachelX 101229 KachelY + 1 98046 1.71101176 -1.15591836 98.033753 -66.229243
    Unten rechts KachelX + 1 101230 KachelY + 1 98046 1.71105970 -1.15591836 98.036499 -66.229243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15589904--1.15591836) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15589904--1.15591836) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71101176-1.71105970) × cos(-1.15589904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403095933728644 × 6371000     		do = 123.115873849981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71101176-1.71105970) × cos(-1.15591836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403078252806098 × 6371000     		du = 123.110473641129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15589904)-sin(-1.15591836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403095933728644-0.403078252806098)×R²
    abs(1.71105970-1.71101176)×1.76809225457264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76809225457264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76809225457264e-05×40589641000000     		ar = 15153.7198588354m²