Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101229 / 97080
↖ ↑ ↗
← S 65.136878°
E 98.033753°		 ← 128.42 m → S 65.136878°
E 98.036499°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
S 65.138033°
E 98.033753°		 ← 128.41 m →
16 485 m²		 S 65.138033°
E 98.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772319793701172 y=0.740665435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772319793701172 × 217)
    floor (0.772319793701172 × 131072)
    floor (101229.5)     		tx = 101229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740665435791016 × 217)
    floor (0.740665435791016 × 131072)
    floor (97080.5)     		ty = 97080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101229 / 97080 ti = "17/101229/97080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101229/97080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101229 ÷ 217
    101229 ÷ 131072     		x = 0.772315979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97080 ÷ 217
    97080 ÷ 131072     		y = 0.74066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772315979003906 × 2 - 1) × π
    0.544631958007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71101176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.4813232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51212156161505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71101176} λ = 1.71101176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51212156161505))-π/2
    2×atan(0.22044180063888)-π/2
    2×0.216971670540403-π/2
    0.433943341080806-1.57079632675     		φ = -1.13685299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71101176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.033753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13685299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.136878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101229 KachelY 97080 1.71101176 -1.13685299 98.033753 -65.136878
    Oben rechts KachelX + 1 101230 KachelY 97080 1.71105970 -1.13685299 98.036499 -65.136878
    Unten links KachelX 101229 KachelY + 1 97081 1.71101176 -1.13687314 98.033753 -65.138033
    Unten rechts KachelX + 1 101230 KachelY + 1 97081 1.71105970 -1.13687314 98.036499 -65.138033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13685299--1.13687314) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dl = 128.375650000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13685299--1.13687314) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dr = 128.375650000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71101176-1.71105970) × cos(-1.13685299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420451910079303 × 6371000     		do = 128.4168357703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71101176-1.71105970) × cos(-1.13687314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420433627600228 × 6371000     		du = 128.4112518306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13685299)-sin(-1.13687314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420451910079303-0.420433627600228)×R²
    abs(1.71105970-1.71101176)×1.8282479075149e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8282479075149e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8282479075149e-05×40589641000000     		ar = 16485.2363426121m²