Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101226 / 98406
↖ ↑ ↗
← S 66.624661°
E 98.025513°		 ← 121.15 m → S 66.624661°
E 98.028259°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
S 66.625751°
E 98.025513°		 ← 121.15 m →
14 681 m²		 S 66.625751°
E 98.028259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772296905517578 y=0.750782012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772296905517578 × 217)
    floor (0.772296905517578 × 131072)
    floor (101226.5)     		tx = 101226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750782012939453 × 217)
    floor (0.750782012939453 × 131072)
    floor (98406.5)     		ty = 98406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101226 / 98406 ti = "17/101226/98406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101226/98406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101226 ÷ 217
    101226 ÷ 131072     		x = 0.772293090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98406 ÷ 217
    98406 ÷ 131072     		y = 0.750778198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772293090820312 × 2 - 1) × π
    0.544586181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71086795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750778198242188 × 2 - 1) × π
    -0.501556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57568589051125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71086795} λ = 1.71086795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57568589051125))-π/2
    2×atan(0.206865616846798)-π/2
    2×0.203988314379877-π/2
    0.407976628759753-1.57079632675     		φ = -1.16281970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71086795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.025513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16281970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.624661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101226 KachelY 98406 1.71086795 -1.16281970 98.025513 -66.624661
    Oben rechts KachelX + 1 101227 KachelY 98406 1.71091588 -1.16281970 98.028259 -66.624661
    Unten links KachelX 101226 KachelY + 1 98407 1.71086795 -1.16283872 98.025513 -66.625751
    Unten rechts KachelX + 1 101227 KachelY + 1 98407 1.71091588 -1.16283872 98.028259 -66.625751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16281970--1.16283872) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dl = 121.176420000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16281970--1.16283872) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dr = 121.176420000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71086795-1.71091588) × cos(-1.16281970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396752835591082 × 6371000     		do = 121.153251284423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71086795-1.71091588) × cos(-1.16283872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396735376576682 × 6371000     		du = 121.147919964344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16281970)-sin(-1.16283872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396752835591082-0.396735376576682)×R²
    abs(1.71091588-1.71086795)×1.74590143997566e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74590143997566e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74590143997566e-05×40589641000000     		ar = 14680.5942474011m²